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立体几何解答题（详解） 1.在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。 （Ⅰ）若，证明：直线平面； （Ⅱ）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。 2．如图，四棱锥中，⊥底面，底面为菱形，点为侧棱上一点. （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面⊥平面. 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点。 （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：平面PAD⊥平面PCD 4．如图，长方体中，，，点为的中点。 （1）求证：直线∥平面； （2）求证：平面平面； 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上． (1)求证：AC⊥B1C； （2）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD. 6．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，， 平面，且，点是的中点. （1）求证：； （2）求证:平面； （3）求二面角的大小. 7．如图1，在直角梯形中，，，且． 现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2． （1）求证：∥平面; （2）求证：; （3）求点到平面的距离. 8．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面 底面，且，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：面平面； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由. 参考答案 1．（1）证明详见解析；（2）存在，M为线段AB的中点时，直线平面. 【解析】 试题分析：（1）证直线垂直平面，就是证直线垂直平面内的两条相交直线.已经有了，那么再在平面内找一条直线与BC垂直. 据题意易得，平面ABC，所以.由此得平面.（2）首先连结，取的中点O. 考虑到，分别是线段，的中点，故在线段上取中点，易得.从而得直线平面. 试题解析：（Ⅰ）因为四边形和都是矩形， 所以. 因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线， 所以平面ABC. 因为直线平面ABC内，所以. 又由已知，为平面内的两条相交直线， 所以，平面. （2）取线段AB的中点M，连接，设O为的交点. 由已知，O为的中点. 连接MD，OE，则MD，OE分别为的中位线. 所以，， 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则. 因为直线平面，平面， 所以直线平面. 即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使得直线平面. 【考点定位】空间直线与平面的位置关系. 2．(1)详见解析; （2）详见解析 【解析】 试题分析：(1) 要证证平面，根据线面平行的判定定理可转化为线线平行，在本题中可取的交点为，转化为证明，且平面，平面，即可得证平面;（2）要证平面⊥平面，联想到面面垂直的判定定理，可转化为证线面垂直，由于底面为菱形，则对角线，又⊥底面，可得⊥平面，进而得到平面，再加之平面，即可证得平面⊥平面． (1) 证：（1）设的交点为，连底面为菱形，为中点， 又，， 5分 且平面，平面， 平面. 7分 （2）底面为菱形，，⊥底面，，⊥平面， ，，平面， 又平面，平面⊥平面. 14分 考点：1.线面平行的判定;2.线面垂直的判定和性质;3.面面垂直的判定 3．（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）证线面平行找线线平行，本题有G为AD中点，F为BD中点条件，可利用平行四边形性质.即取PD中点H，AD中点G，易得EFGH为平行四边形，从而有EF∥GH.写定理条件时需完整，因为若缺少EF面PAD，，则EF可能在面PAD内，若缺少GH面PAD，则EF与面PAD位置关系不定.（2）证面面垂直关键找线面垂直.可由面面垂直性质定理探讨，因为侧面PAD⊥底面ABCD，CD垂直AD,而AD为两平面的交线,所以应有CD垂直于平面PAD，这就是本题证明的目标. 试题解析：（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE G为AD中点，F为BD中点，GF， 同理EH， ABCD为矩形，ABCD，GFEH，EFGH为平行四边形 EF∥GH，又∥面PAD. （2）面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD＝AD，又ABCD为矩形， CD⊥AD，CD⊥面PAD 又CD面PCD，面PAD⊥面PCD. 考点：线面平行判定定理，面面垂直判定与性质定理 4．（1）详见解析；（2）详见解析．