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立体几何专题复习 ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.判定定理：◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.性质定理◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行◆垂直于同一个平面的两条直线平行.三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直.推理模式： .注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足.直线与平面垂直记作：⊥α. ◆直线与平面垂直的：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.◆直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那这两条直线平行.. 两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直） 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面. 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. 异面直线所成的角的范围是.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.具体步骤如下： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； 证明作出的角即为所求的角； 利用三角形来求角. 直线与平面所成的角的范围是.求直线和平面所成的角用的是射影转化法.具体步骤如下： 找过斜线上一点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； 把该角置于三角形中计算. 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)； c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 二面角的范围，解题时要注意图形的位置和题目的要求.作二面角的平面角常有三种方法①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角. 斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小. （1）点到直线的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.点到平面的距离：点Ｐ到平面的距离为点Ｐ到平面的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长②转移法，如果平面的斜线上