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第10讲 递推数列题型分类归纳解析2 类型3 （其中p，q均为常数，）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列中，，，求. 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列中，若，则该数列的通项_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列； 类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。 例:已知数列中，,，求。 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列的前项的和， （Ⅰ）求首项与通项； 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 解法一（待定系数——迭加法）: 数列：， ，求数列的通项公式。 例:已知数列中，,,，求。 变式: 1.已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式； （III）若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中，,,，求 3.已知数列中，是其前项和，并且， ⑴设数列，求证：数列是等比数列； ⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。 类型6 递推公式为与的关系式。(或) 解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。 例：已知数列前n项和. （1）求与的关系；（2）求通项公式. （2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得： 由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分） 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式. 类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。 例:设数列：，求. 变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由. 类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛｝中，，求数列 变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分） 已知数列 （1）证明 （2）求数列的通项公式an. 变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分） 已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分） 1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ 求数列｛an｝的通项公式； 证明：对于一切正整数n，不等式a1?a2?……an?2?n！ 2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。 3、已知数列{}满足时，，求通项公式。 4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 5、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a． 类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。 例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例：已知数列满足：对于都有 （1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？ 变式:（2005，重庆,文,22,