l第26讲：高频考点分析之圆锥曲线探讨.docVIP

【备战2013高考数学专题讲座】 第26讲：高频考点分析之圆锥曲线探讨 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，第13讲～第讲我们对高频考点进行探讨。 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e1时为双曲线。 圆锥曲线具有许多重要的性质，并能直接联系实际应用，在高中数学中占据重要地位。在高考中所占分值一般为20分左右，且多与其他知识点相结合出现，综合性强，难度较大。掌握它的一些重要性质，至关重要。 结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下七方面探讨圆锥曲线问题的求解： 1. 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质； 2. 圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题； 3. 点与圆锥曲线的关系问题； 4. 直线与圆锥曲线的关系问题； 5. 动点轨迹方程； 6. 圆锥曲线中最值问题； 7. 圆锥曲线中定值问题。 一、圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1.（2012年全国课标卷理5分）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为【 】 【答案】。 【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。 【解析】∵是椭圆的左、右焦点， ∴。 ∵是底角为的等腰三角形， ∴。 ∵为直线上一点，∴。∴。 又∵，即。∴。故选。 例2. （2012年全国课标卷理5分）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为【 】 【答案】。 【考点】双曲线和抛物线的性质。 【解析】的准线。 ∵与抛物线的准线交于两点，， ∴，。 设，则，得，。故选。 例3. （2012年四川省理5分）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则【 】 A、 B、 C、 D、 【答案】B。【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【考点】抛物线的定义 【解析】]设抛物线方程为，则焦点坐标为（），准线方程为。 ∵点在抛物线上，∴点到焦点的距离等于到准线的距离。 ∴且，解得。 ∴，。故选B。 例4. （2012年四川省理5分）方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有【 】 A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 【答案】B。 【考点】分类讨论的思想，抛物线的定义。 【解析】将方程变形得，若表示抛物线，则 ∴分=－3,－2，1，2，3五种情况： （1）若=－3， ; （2）若=3, 以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条； 同理当=－2,或2时，共有23条； 当=1时，共有16条。 综上，共有23+23+16=62条。故选B。 例5. （2012年安徽省理5分）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若； 则的面积为【 】 【答案】。 【考点】抛物线的性质。 【解析】设，。 ∵，即点到准线的距离为。 ∴，即。 。 ∴。 ∴的面积为。故选。 例6. （2012年浙江省理5分）如图，，分别是双曲线：的左、右两焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点 ．若，则的离心率是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的简单性质。 【解析】如图：设线段的垂直平分线与交于点， ∵ |OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣。 直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x。 由，得：Q(，)； 由，得：P(，)。 ∴直线MN为：y－＝﹣(x－)。 令y＝0得：xM＝。 又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝。故选B。 例7. （2012年江西省文5分）椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若成等比数列，则此椭圆的离心率为【 】