l第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题.docVIP

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 老苗汤 老苗汤泡脚 老苗汤官网 高三新数学第一轮复习教案（讲座35）—曲线方程及圆锥曲线的综合问题 一．课标要求： 1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想了解圆锥曲线的简单应用。 设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(xy)的取值范围。 （2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： （4）知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。 四．典例解析 题型1：求轨迹方程 例1．（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 （2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。 解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆方程分别配方得：，， 当与相切时，有 ① 当与相切时，有 ② 将①②两式的两边分别相加，得， 即 ③ 移项再两边分别平方得： ④ 两边再平方得：， 整理得， 所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。 （法二）由解法一可得方程， 由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， ∴，，∴，， ∴， ∴圆心轨迹方程为。 （2）如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴ ∴已知双曲线两焦点为， ∵存在，∴ 由三角形重心坐标公式有，即 。 ∵，∴。 已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有 即所求重心的轨迹方程为：。 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。 例2．（2001上海，3）设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。 解析：（1）答案：x2－4y2＝1 设P（x0，y0） ∴M（x，y） ∴ ∴2x＝x0，2y＝y0 ∴－4y2＝1x2－4y2＝1 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。 题型2：圆锥曲线中最值和范围问题 例3．（1）设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F1AB的面积最大为（ ） A. B. C. D. （2）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. （3）已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10 B. C. D. 解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又，△F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为。所以△F1AB的面积最大值为cb。 点评：抓住△F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。 （2）解析：由双曲线的定义， 得：， 又，所以，从而 由双曲线的第二定义可得， 所以。又，从而。故选B。 点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。 （3）解析：易知A（3，2）在椭圆内，B（－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知： ， 所以。 由平面几何知识， ，即， 而， 所以。 点评：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论。 例4．（1）（06全国1文，21）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。 （2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点. ①求； 若中点的轨迹方程； ③过原点的