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MCM-89题机场安排最优排队调度问题 机场通常是用“先到先服务”的原则来分配飞机跑道，即当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入等候跑道的队伍。假设控制塔可以快速在线数据库中得到每架飞机的如下信息： 1、预定离开登机口的时间； 2、实际离开登机口的时间； 3、机上乘客人数； 4、预定在下一站转机的人数和转机时间； 5、到达下一站的预定时间。 又设共有七种飞机，载客从100人起以50人递增，载客最多的一种是400人。试开发和分析一种能使乘客和各航空公司双方都满意的数学模型。（注：七种飞机可能分属于不同的航空公司） 模型的基本假设 机场上所有要起飞的飞机，都必须使相同一条跑道，并且任何一架飞机在起飞的时候都需要完全地占有整条跑道，每架飞机占用的时间是一样长的。这一假设可把整个时间分割成离散的等长的小时间段（也称为起飞窗口宽度），在每个小时间段上可容纳一架飞机完成起飞操作。 第i架飞机由第j个时间段上起飞时，其所需费用仅与该飞机和时间位置有关，而与它前面是哪架飞机无关。即费用不是前面飞机的函数，因此这一假设可把对应于不同排序的总费用都统一描述为一个线性函数。 任何飞机从离开自己的通道口到达跑道入口处所需要的时间假定都一样。同时为了避免有一大堆飞机挤在跑道入口处等待飞机（一般机场也不太可能这样），这时如有另一架飞机需要紧急起飞，这就须将所有排在前面的飞机挤到一边来腾地方，因此假设每架飞机都有立即进入跑道口的通道。这样在须要调整次序时，只须在数据库中的次序上进行调整，而不必对飞机实地重排。并且飞机须在为其指定的小时间段上才准许离开自己的通道口。 模型设计与可行性分析 如果在t0时刻仅有一架飞机或没有要求起飞的飞机，则机场就直接安排其起飞或闲置 。因此设在t0有n架飞机同时要求起飞。由假设1，可将n架飞机起飞所需要的总时间分成n个等长的小时间段（如?长）。下面如何安排哪架飞机在哪个时段上起飞要依赖于实际航班的花费和顾客的满意程度来确定。 设为Cij第i架飞机从第j个小时间段上起飞时所需一切费用之和，于是所有可能的排序带来的费用计算有如下的费用距阵表示： 并设Xij=0或1，当第i架飞机在第j个时段上起飞时Xij=1，否则Xij=0 于是相应地安排方案距阵为 ： 对于分派问题，已有专门为此种特殊结构而设计的有效的解题算法，它被称为Graver—Thrall primal算法。对于1个随机产生的具有16个变量的分派问题，最多只须2.9秒即可完成求解，而使用现代的计算机，对任意适当个变量的指派问题，只须不到一秒钟即可求得解。 同时，由于模型中费用系数阵（1）须要经过量化，而他们可由下一段四中的公式求得。并由数据库中的数据进行计算，这一量化模型的过程须要另一个不到一秒钟。因此整个模型的建立与求解所用时间是以秒为数量级的，故当机场控制塔在面临一串连珠炮一样的起飞请求时都可几乎立即对排序作出响应。而飞机的起飞间隔远不是以秒为数量级的。一般至少几分钟，因此模型是可行的。 更重要的是。在设有意外发生的情况下，还可利用机场的原有时间表，由数据库事先安排好起飞顺序，并让飞机安排起飞顺序起飞，而唯一需要重新安排的情况仅仅发生在有飞机晚点或紧急的情况，而这时的运算也会在一秒钟左右解决问题。而且由假设（3），也不会因改变而产生临时的拥挤情况。 四、模型中费用系数阵的量化 由于（1）中的Cij 是第i架飞机从第j个时间段上起飞的费用，它与一架航班的型号及运行费用和其上载客情况和他们的满意程度有关，为简化运算，把基本运行费设置为费用零点，而只考虑由于飞机延迟起飞而引起的费用。这一费用包括由于晚点而不再以最经济的速度而是以较快或最快速度飞行带来的燃料损失；及乘客因耽误下站转机而重新安排旅途的损失；以及顾客因各种延迟带来的不愉快而转化的损失。将这三者分别归入费用计算并简记为： 费用: 1.燃料附加费 2.乘客误机费 3.乘客不满意的损失 下面分别建立几个费用的计算公式 1.燃料附加费 由于晚点，飞机必须以尽可能快的速度飞行，故燃料随晚点的时间长短而变化，然而既使晚点，只要为达到最大时限，就可以以低于最大安全速度飞行。并在起飞后就可近似地保持常速，因此燃料消耗在时间内应恒定，由于不知道燃料消耗如何随飞行速度变化，选用了近似的线性函数，即单位时间增加油耗的费用函数为： 由此公式看出，飞机晚点越久，则耗油越多，直至它在离开时即以最大速度起飞（假设4）。 下面为了建模讨论的方便，将上述公式中及以后要