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第三讲 立体几何问题传统证法的 1、在平面内如何表示空间图形（画图、空间想象）；2、数学语言转换（文字、图形、符号语言间） 3、逻辑关系（正确、恰当地表述定理）；4、证明模式方法 一、知识梳理 二、知识整合： 有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，在解决立体几何问题过程中大量的、反复遇到，而且是各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在立体几何的学习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 1、空间元素基本位置关系： ①空间两直线：平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法或判定定理. ②直线与平面： a∥α、a∩α=A (aα) 、aα ③平面与平面:α∥β、α∩β=a 2、常用定理及结论: “线线平行线面平行面面平行”，“线线垂直线面垂直面面垂直”是立几中所表现出的线面的平行与垂直关系互相转化的基本思路，掌握了这种转化思路，也就掌握了用传统方法解答立体几何问题的钥匙，切记证题时不能越级． 3、立体几何问题处理思路： 若是单纯的判断题，通常是结合图形（或另作，或想象）将三种语言（文字、符号、图形）互译互助，利用判定定理或性质定理解决； 若是线面平行、垂直关系的证明问题，基本思路是：由“已知”用性质推“可知”，看“欲证”想“要证”用判断，并借助图形直观，添加必要的辅助线（面）； 若是角、距离的计算问题，首先是在原有图形上千方百计地找到（或作出）符合相关定义的角、距离，然后加以论证，最后是计算角或距离的大小． 4、重要定理和命题： ①线面平行;; ②线线平行:;;; ③面面平行:;; ④线线垂直:;所成角900；(三垂线定理);逆定理呢? ⑤线面垂直:;;; ⑥面面垂直：二面角900; ; 根据新课程标准要求，平行与垂直的证明是立体几何知识模块的核心内容，其中难点是线面平行和面面垂直证明问题，我们知道，要证线面平行，常需要朝线线平行转化；要证面面垂直，常需要朝线面垂直转化.而这两种转化关键是如何从复杂的几何图形中寻求到需要的那条直线.在证题过程中如何快速准确地寻求到那条直线而减少偶然性和盲目性呢？ 例：已知矩形ABCD所在的平面外一点 P, PA平面ABCD, E、F分别是AB、PC的中点，求证：EF//平面PAD 解法一：取PD的中点G ,连接FG, AG则四边形AEFG是平行四边形，所以EF//AG,从而结论得证 解法二：通过构造含EF的平面与平面PAD平行再利用面面平行的性质定理证得解法三：利用空间向量的方法，找平面PAD的法向量（），再证 解法四：利用空间向量的方法，证再说明点E（或直线EF）在平面PAD外即可证得三、典例分析： 例1、 （08·安徽理18改编）如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC = 45?，OA⊥底面ABCD，OA = 2，M为OA的中点，N为BC的中点． （1）证明：直线MN∥平面OCD； （2）指出异面直线AB与MD所成的角； ： （1）要证直线MN∥平面OCD，只需在平面OCD内找到（若无现成的则需另作）一条直线，证明它与MN平行（这条思路本题不太容易）；或者证明直线MN所在的某个平面（常常需要另作）∥平面OCD，注意到题设中有两个中点，于是再取AD或OB的中点（如下图），则问题立即解决． （2）异面直线所成的角需要转化成两条相交直线所成的锐角或直角．所以平行移动AB或MD，使它们相交，结合图形，发现AB∥CD，而CD∩MD = D，所以∠MDC就是异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．连结CM，在△CDM中，不难得出DM =，CM2 = 3－，而CD = 1，AC2 = 2－，进而由余弦定理，得，得∠MDC = 60?．所以AB与MD所成的角为60?． 说明：充分利用“线线、线面、面面平行（垂直）的转化关系”进行分析，是顺利解答立体几何试题的重要思路． （2009江苏卷）如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面平面. 例3、如图,平面α内有一个半圆,直径为AB,过A作SA⊥平面α,在半圆上任取一点M,连SM、SB,且N、H分别 (1)求证:NH⊥SB； (2)这个图形中有多少个线面垂直关系？ (3)这个图形中有多少个直角三角形？ 1.(1)证明：连AM、BM.∵AB为已知半圆直径，∴AM⊥BM. ∵SA⊥平面α，MBα，∴SA⊥MB.∵AM∩SA=A，∴MB⊥SAM. ∵AN面SAM，∴BM⊥AN. ∵AN⊥SM,∴AN⊥SMB