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哈尔滨师范大学 学 年 论 文 题 目 泰勒公式及其在解题中的应用 学 生 郭永晶 指导教师 孙玉莉 年 级 2008级5班 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 文理学院 哈尔滨师范大学 2011年4月 论 问 题 要 本文较为详细介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念.除介绍基本概念外,还有相关定理及余项表达式.在此基础上,对泰勒公式在证明不等式和等式求极限,极值和在近似计算中的应用进行了全面的总结.同时配备了相应的例题解答和文字说明.使读者更好的更深刻的理解泰勒公式的应用. 泰勒公式及其在解题中的应用 郭永晶 摘 要：本文介绍了泰勒公式及其几个常见函数展开式.并主要介绍了求极限,证明不等式,判断级数敛散性,进行近似计算,求函数的幂级展开式,求行列式的值,证明根的唯一存在性,判断函数的极值. 关键字：泰勒公式 极值 极限 一 引言 泰勒公式在数学分析中是非常重要的内容，可以说它是把复杂问题简单化的一把利剑，泰勒公式在分析和研究一些数学问题上有广泛的应用. 二 与泰勒公式有关的几种不同形式 定义一：对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个此多项式： + + + … + 称为函数在点处的泰勒多项式. 定理一：若函数在点存在直至阶导数，则有 +,即 +(x0)+ + … ++ o((x－x0)n) 定义二：泰勒公式在的特殊形式： + (0) + + … + + . 它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式 定理二：（泰勒定理） 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的,至少存在一点 ,使得 + (x0) + + … ++ . （1） 定义三：上式也称泰勒公式，它的余项为 =, + (), 称为拉格朗日余项，所以（1）式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式. 定义四：当时，得到泰勒公式 + (0) + + … + +（01）. 称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林公式. 三 泰勒公式在解题中的应用 1 求极限 例1 . 分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式. 解： 由,得 , 于是 . 2 证明不等式 例2 当时,证明. 证明： 取,,则 带入泰勒公式,其中=3,得，其中. 故 当时,. 3 证明根的唯一存在性 例3 设在上二阶可导,且,对, 证明：在内存在唯一实根. 分析：这里是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将在点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明. 证明： 因为,所以单调减少,又,因此xa时,,故在上严格单调减少.在点展开一阶泰勒公式有 由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根. 4 判断极值 例4 (极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,. (i)若,则在取得极大值. (ii) 若,则在取得极小值. 证明： 由条件，可得f在处的二阶泰勒公式 . 由于,因此 .(*) 又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有 , 即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值. 5 基本初等函数的幂级数展开式 利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式. 例5 求的幂级数展开式. 解： 利用泰勒公式 6 近似计算 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为 , 其误差是余项. 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001 先写出带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式： , 其中（在0与x之间）. 令,要使 则取即可. 因此 当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法. 例6 求的近似值,精确到. 因为中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求的近似值. 解： 在的展开式中以代替 得 逐项积分,得 上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估计式知 7 求高阶导数数值 如果泰勒公式已知,其通项中的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导. 例7 求