l第四版复变函数答案2.docxVIP

习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（3）(3 + 4i)(2 ? 5i) ；1（2）1 ?；3i（4）i 8 ? 4i 21 + i（1）；3 + 2ii1 ? i2i 1 = 3 ? 2i = 1 （1）(33 + 2i(3 + 2i)(3 ? 2i)13? 2i)解所以312Re?1?? =， Im?? = ?,????3 + 2 i ?13?3 + 2i ?13221= 1 (3 + 2i) ，33?? + ? ??13 ，????==3 + 2i133 2i1313 ?13????1??1?Arg?? = arg?? + 2kπ? 3 + 2 i ?? 3 + 2 i ?= ? arctan 2 + 2kπ , k = 0,±1,±2, 31 3i ? i 3i(1 + i ) 135（2） ?=?= ?i ?(? 3 + 3i) =?i,i1 ? ii(? i)(1 ? i)(1 + i)222所以Re?1 3i 3? =,?? i ? 1 ? i ?2?Im?1 ?? = ? 53i??? i1 ? i ?2? 3 ?2? 5 ?2?135? ?? =+ i，3i?134，?=? ? + ? ? ?=? i1 ? i ?22i? 2 ??2 ?2Arg? 1 ?? = arg? 1 ?? + 2kπ3 i3 i????? i1 ? i ?? i1 ? i ?= ? arctan 5 + 2kπ,k = 0,±1,±2, .3（3） (3 + 4i)(2 ? 5i) = (3 + 4i)(2 ? 5i )(? 2i) = (26 ? 7i)(? 2i)(2i)(? 2i)2i4= ?7 ? 26i = ? 7 ? 13i22所以? (3 + 4i)(2 ? 5i )?7? = ?，Re?2i2??? (3 + 4i )(2 ? 5i )?? = ?13 ，?Im??2i13i1 ? i1+? (3 + 4i )(2 ? 5i )?7? = ?+ l3i??2i2?(3 + 4i)(2 ? 5i)5 29，=2i2? (3 + 4 i)(2 ? 5 i)?? (3 + 4 i)(2 ? 5 i)?26Arg?? = arg?? + 2kπ = 2 arctan? π + 2kπ2 i2 i7????= arctan 26 + (2k ? 1)π ,k = 0,±1,±2, .7（4） i8 ? 4i21 + i = (i 2 )4 ? 4(i2 )10 i + i = (? 1)4 ? 4(? 1)10 i + i= 1 ? 4i + i = 1 ? 3i所以Re{i8 ? 4i 21 + i}= 1, Im{i8 ? 4i 21 + i}= ?3??i8 ? 4i21 + i ?? = 1 + 3i ，| i8 ? 4i 21 + i |=10??Arg(i8 ? 4i 21 + i)= arg(i8 ? 4i 21 + i)+ 2kπ = arg(1 ? 3i) + 2kπ= ?arctan3 + 2kπk = 0,±1,±2, .2．如果等式 x + 1 + i(y ? 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。5 + 3i解：由于x + 1 + i(y ? 3)[x + 1 + i(y ? 3)](5 ? 3i )=(5 + 3i)(5 ? 3i)5(x + 1) + 3(y ? 3) + i[? 3(x + 1) + 5(y ? 3)]5 + 3i=34= 1 [5x + 3y ? 4]+ i(? 3x + 5y ? 18) = 1 + i34比较等式两端的实、虚部，得?5x + 3 y ? 4 = 34或 ? 5x + 3 y = 38???? 3x + 5 y ? 18 = 34?? 3x + 5 y = 52解得 x = 1, y = 11 。3．证明虚单位 i 有这样的性质：-i=i-1= i 。4．证明1) | z |2 = zz 6) Re( z) = 1 ( z + z), Im( z) = 1 ( z ? z )22i2证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。5．对任何 z ， z 2 =| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些 值才成立？解：设 z = x + iy ，则要使 z 2 =| z |2 成立有x2 ? y2 + 2ixy = x2 + y 2 ，即 x2 ? y 2 = x2 + y2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。6．当| z |≤ 1 时，求| z n + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为