l等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析.docVIP

等差数列及其前n项和 【考纲说明】 【知识梳理】 ，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或 推广： 3、等差数列通项公式 若等差数列的首项是，公差是，则． 推广：，从而。 4、等差数列的前项和公式 等差数列的前项和的公式：①；②． 5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系 ( 数列的前n项的和为). 二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差时， (1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为； (2)前和是关于的二次函数且常数项为0。 2、等差数列的增减性 若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列， 若公差，则为常数列。 3、通项的关系 当时,则有， 特别地，当时，则有. 注： 4、常见的等差数列 （1）若、为等差数列，则都为等差数列。 （2）若{}是公差为的等差数列，则，…也成等差数列（公差为）。 （3）数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。 5、前n项和的性质 设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和. ①当项数为偶数时，则 ②当项数为奇数时，则 （其中是项数为的等差数列的中间项） 6、求的最值（或求中正负分界项） （1）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性. （2）①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和 即当，由可得达到最大值时的值. ②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和. 即当，由可得达到最小值时的值. 三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法： （1）定义法：若或(常数)是等差数列； （2）等差中项：数列是等差数列； （3）数列是等差数列（其中是常数）； （4）数列是等差数列,（其中、是常数）. 2、等差数列的证明方法： 定义法：若或(常数)是等差数列． 题型一：性质的应用 例1（1）是等差数列，若，，求 （2）是等差数列，是其前项和，若，求 例2（2010山东）已知等差数列满足：，，的前项和为. （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令（），求数列的前项和为. 题型二：求最值 例3是等差数列，是其前项和，若,求使得最大的的值. 例4是等差数列，，求的最小值. 题型三：证明 例5已知数列，是其前项和，且满足，，求证：是等差数列. 等比数列及其前n项和 重要知识点： 定义：，为数列的公比 等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B） 等比数列的前项和公式： 等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。 4.等比数列的性质： （1）当时，则有，特别地，当时，则有. （2）一公比为的等比数列，其和成等比数列，公比为. (3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列. (4) 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则＝ （答：－1） 如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列. 等差数列的判定 ①定义法： ②等比中项；(，)① 注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列. ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. 且→为a、b、c等比数列的充要. 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. 一些常用公式 ①1+2+3 …+n = ② [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，…. 例1数列中，=4+1 ()且=1，若，求证：数列是等比数列。 例2等比，，设， 证明等差 求的前项和和的通项公式、 等差，等比数列练习 1．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 2．（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则A． B． C．