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03-02 等差数列 点一点——明确目标 理解等差数列的概念，掌握等差数列性质、通项公式和求和公式. 做一做——热身适应 1.（2004年春季上海，7）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－=0上，则an=___________________. 解析：将点代入直线方程得－=，由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2. 答案：3n2 2.（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为___________________. 解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1－x）=，即 f（－5）+ f（6）=，f（－4）+f（5）=，f（－3）+f（4）=，f（－2）+f（3）=，f（－1）+ f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3. 答案：3 3.（2003年全国，文5）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是 A.48 B.49 C.50 D.51 解析：由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n－1）=33，解得n=50. 答案：C 4.（2003年全国，8）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于 A.1 B. C. D. 解析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=. 答案：C 理一理——疑难要点 1.等差数列的概念 若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{an}叫等差数列. 2.通项公式：an=a1+（n－1）d， 推广：an=am+（n－m）d. 变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率. 3.等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件. 4.前n项和：Sn==na1+d=n·an－（n－1）nd. 变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）. 4.等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个. 5.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数； （2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）. 6.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列. 拨一拨——思路方法 【例1】 数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2， （1）求常数p的值； （2）证明：数列{an}是等差数列. 剖析：（1）注意讨论p的所有可能值. （2）运用公式an= 求an. 解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2， ∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0. 当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0. ∵a1≠a2，故p=. （2）由已知Sn=nan，a1=0. n≥2时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1. ∴=.则=，…，=. ∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2. 故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列. 评述：本题为“Snan”的问题，体现了运动变化的思想. 【例2】 已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110. 剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程. 解：设{an}的首项为a1，公差为d，则 解得 ∴S110=110a1+×110×109d=－110. 评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简. 思考讨论 此题能按等差数列的关于和的性质来求吗? 【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn. 剖析：由Sn=12n－n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（n∈N*），可知{an}为等差数列，求