l等比数列的前n项求和解题思路.docVIP

2．5　等比数列的前n项和 等比数列前n项和公式的基本运算 【例1】 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解：(1)由题意知， 解得或， 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.(2)法一：由题意知， 解得，从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8， 从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126， 解得q＝2或q＝， 所以q为2或. 变式训练11：数列{an}为等比数列，各项均大于0，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项a1和公比q. 解：∵S2n＞2Sn，∴q≠1. 依题意，得 得，qn＝81，∴q＞1，故前n项中an最大． ∴an＝a1·qn－1＝54， ∴×81＝54.③ 将qn＝81代入①得a1＝q－1.④ ③④联立解得 等比数列前n项和性质的应用 【例2】 已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30. 思路点拨：法一：→→→ 法二：→→ 解：法一：设公比为q，则 得1＋q10＝3，∴q10＝2， ∴S30＝ ＝(1＋q10＋q20) ＝10×(1＋2＋4)＝70. 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30， ∴S30－S20＝S30－30＝， 即S30＝70. 等比数列前n项和的常用性质 项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则＝q； ②若共有2n＋1项， 则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)． (2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列变式训练21：等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，求S4. 解：法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， 由知 ∴＝91， ∴q4＋q2－12＝0， ∴q2＝3， ∴S4＝＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.法二：∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7,91－S4成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2， ∴S4＝28. 错位相减求和问题 【例3】 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和． 思路点拨：分析通项公式的结构特征，一个因式2n－1，另一个因式an－1，联想推导等比数列前n项公式的方法，即错位相减法求和． 解：当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1) 则Sn＝＝n2，当a≠1时，有 Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an② ①－②得：Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an (1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1) ＝1－(2n－1)an＋2· ＝1－(2n－1)an＋ 又1－a≠0，∴Sn＝＋. 当a＝1时，Sn＝n2 当a≠1时，Sn＝＋ (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比是负数的情形更值得注意． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”．以便于下一步准备写出“Sn－qSn”的表达式． (3)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查． 变式训练31：求1＋2x2＋3x4＋…＋10x18的和解：当x＝±1时，数列变为1,2,3,4，…，10， 所以S10＝＝55， 当x≠±1时， S10＝1＋2x2＋3x4＋…＋10x18，① x2S10＝x2＋2x4＋3x6＋…＋9x18＋10x20，② (1－x2)S10＝1＋x2＋x4＋…＋x18－10x20 ＝1－10x20＋(x2＋x4＋…＋x18) ＝1－10x20＋ 又x2≠±1，∴S10