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等比数列性质 一、选择题 1.已知数列成等差数列, 成等比数列，则的值为( ) A、 B、— C、或— D、 2.等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ） 5.等比数列的各项均为正数，且＝18，则＝( ) A．12 B．10 C．8 D．2＋ 6.的前项和，且成等比数列，则等于 （ ） A. 4 B. 6 C.8 D.10 7.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于 A、28 B、32 C、36 D、40 8.等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.或 D.2或－2 9.已知等比数列{an }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．15 B．17 C．19 D ．21 二、填空题 13.设等比数列{}的前n项和为。若，则= 15.等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= 16.等比数列的前项和=，则=_______.20.在等比数列中，公比，设，且 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和及数列的通项公式； （3）试比较与的大小. 3.（2006全国Ⅰ卷理）设数列的前项的和，， （Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明： 3.解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2. 再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,… 将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, … 整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …, (Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1) Tn= = × = ×( － ) 所以, = － ) = ×( － ) 8.（2006安徽理）数列的前项和为，已知 （Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式； （Ⅱ）设，求数列的前项和。 8.解：由得：，即，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。 （Ⅱ）由，得。 而，所以，对成立。 由， ， 10.（2005山东文）已知数列的首项前项和为，且 （I）证明数列是等比数列； （II）令，求函数在点处的导数 10.解：由已知 可得两式相减得 ，即 从而 当时,，所以 又所以，从而 故总有， 又，从而, 即数列是以为首项，2为公比的等比数列； （II）由（I）知 因为所以 从而= =-=. 例题2. （2007年二次月考）设数列的前n项和为Sn，若是首项为1，各项均为 正数且公比为q的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）试比较的大小，并证明你的结论. 解析：（Ⅰ）∵是各项均为正数的等比数列. ∴. 当n=1时，a1=1， 当 ∴。 （Ⅱ）当n=1时， ∴ ∴当 ∵ ①当q=1时， ②当 ③当 综上可知： 当n=1时， 当 若 若 点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。 考点二：求数列的通项与求和 例题3. （2007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为： 12、1122、111222、……、 …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn . 解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。 答案：（1） 记：A = , 则A=为整数 = A (A+1) ， 得证 (2) 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项