l线段中垂线习题.docVIP

线段的垂直平分线典型习题 【基础知识精讲】 一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线(又称中垂线). 线段的垂直平分线是一条直线，它是到线段两端距离相等的点的集合.关于这一点需从两个方面去说明，1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.它的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.关于1的证明，利用了全等三角形，而有关2的证明则利用等腰三角形的“三线合一”的性质. 【重点难点解析】 本节重点难点在于对“垂直平分线上的点是到线段两端距离相等的点的集合”这句话的两层含义的理解与掌握上.通过本节学习，要能很好的用中垂线解决问题. 例1 已知△ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂线分别为l1,l2,l3（图3.14-1）.求证l1,l2,l3三线共点. 图3.14-1 分析 可考虑先设l1,l2,交于点O，再设法证明O在l3上，从而达到证l1,l2,l3共点的目的. 证 设l1,l2交于O，连OA，OB，OC.∵l1为AB中垂线 ∴OA=OB,同理OB=OC ∴OA=OC ∴O在AC中垂线上.即O在l3上，∴，l1l2l3共点. 注：该点叫三角形的“外心”，它与三条中线的交点重心，三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心” 例2 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 图3.14-2 分析 如图3,14-2 P为中垂线交点，且在AB上，连PC，则PA=PB=PC. ∴∠1=∠A ∠2=∠B. ∠1+∠2=∠A+∠B==90° ∴∠ACB=90° 故选C 例3 如图3.14-3,△ABC中∠A=120° AB=AC,AB的中垂线交AB于D，BC于F. 则= . 图3.14-3 分析 ∠A=120° AB=AC ∴∠B=∠C=30° 又DE为中垂线AE ∴EA=EB ∠EBA=∠EAB=30° ∠EAC=90° ∠C=30° ∴AE=BE=EC ∴= 例4 如图3.14-4，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，求证∠CAF=∠B. 图3.14-4 分析 本题从结论入手较困难，应从EF为AD中垂线这一条件入手，得到FA=FD，即△ADF为等腰三角形，∴∠2+∠3=∠4,而∠4为△ABD的外角，∴∠4=∠B+∠1,再由已知∠1=∠2可得结论∠3=∠B. 证 ∵EF为AD中垂线 ∴AF=DF ∴∠2+∠3=∠4， 又∠4=∠1+∠B ∴∠2+∠3=∠1+∠B ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠B 即∠CAF=∠B. 【难题巧解点拨】 例1 △A BC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF中垂线，求证BF=2AD(图3.14-5). 图3.14-5 分析 由已知CD为EF的中垂线，可知△CEF为等腰三角形，∴∠1=∠2.D为∠ACB平分线上一点，可利用角平分线性质，作D⊥BC于G. ∠A=90° ∴DA⊥AC ∴AD=DG,将线段AD转移到线段DG上，又由于∠B=45° ∴△BDG为等腰直角三角形 ∴DG=BG下面只需证明DG=GF，即可.证DG=GF，可考虑证△DGF≌△ADE. 证 连DE，DF，作DG⊥BC于G.∵DC为EF的中垂线 ∴DE=DF,CE=CF.DC⊥EF ∴∠1=∠2. 又∠A=90° ∴DA⊥AC，DG⊥BC ∴DA=DG. 又DG=DF ∴Rt△ADE≌Rt△GDF（HL） ∴GF=AE 又AE=AD ∴AD=DG=GF. ∠A=90° AB=AC ∴∠B=45° 在△BDG中∠B=45° ∠DGB=90° ∴∠BDG=45° ∴DG=BG ∴DG=BG=GF ∴DG=BF AD=BF. 例2 如图3.14-6，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB. 图3.14-6 分析 本题巧妙地利用中垂线将线段、角进行转移，考虑AD⊥BC, BD＜DC.(BD=5,DC=15)，在DC上取DE=BD，利用中垂线将求AB长转化为求AE的长，再利用∠B=∠1及已知∠B=2∠C，将求AE的长巧妙地转移到求EC的长. 解 ∵BD=5 BC=20 在DC上取DE=BD=5，连AE， ∵AD⊥BE，BD=DE ∴AD为BE中垂线 ∴AB=AE ∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C ∴∠C=∠2 AE=EC ∴AB=EC 又∵BD=DE=5 BC=20 ∴EC=10 ∴AB=10 【同步达纲练习