柏努利方程..doc

一、理论概述 1738年，柏努利（Bernoulli）出版的名著《流体动力学》中，首次将能量守恒应用到流体中，1755 年由欧拉推导出完整的公式。实验验证了流体中的能量守恒，建立了流体位势能、压强势能和动能之间的能量转换关系──柏努利方程。在此历史阶段，诸学者的工作奠定了流体静力学的基础。 柏努利方程给出了无粘流动中压力、速度和位置高度之间的关系。柏努利方程应用很广，但必须要注意，该方程只适用于粘性作用可以忽略的流动。 下面给出柏努利方程的推导： 图1 沿流管所取的流体微元控制体 ????图 1为沿流管所取的微元控制体，长度为，为流线方向，流动参量随 及时间变化，并且在各个垂直于 的截面上是均匀的。根据质量守恒有： ------- （1） ????对于固定形状的控制体，时间导数可放在积分号内，且对时间的导数可以用偏导数表示，因此式（1）可表示为式（2）的微分形式方程 ------- （2） 式中 ， ，因此有 ???????????????------- （3） 流线方向的动量方程为 ??----（4） 式（4）由于是在流线方向的动量方程，因此 即。如果忽略粘性力作用，即对于理想流体，流体受到的力为压力和重力，重力在流线方向的分量为 ?? 求整个控制面的压强在沿流向的合力时，可以将所有部分的压强都减去 p ，然后再求和，如图 1b 所示。 ????将上述两个力项代入动量方程式（4） 得 上式两边除以 并考虑到式 (3) 得 ------- （5a） 式（5）即为非定常、无粘流动，沿流线方向的微分形式动量方程，又称为一维流动的欧拉运动微分方程。 ????如果流动为定常，则式 (5) 可改写为 ?????????????------- （5b） 对于气体，由于重度很小，通常忽略重力势能，则式 (5b) 为 ???????????? ?------- （5c） 此式（5c）说明，当 为正值时，则 必为负值，也就是说，当压强增加时，流体的速度必定要减小，而在压强减小时，速度一定要增加。这是气体流动时的重要规律之一。 对式（5a） 从点 1 到点 2 进行积分得 ?????????------- （6） ? 图2 柏努利方程中各项的意义 对于定常不可压流动，式（6）变为 或 ????------- （7） 上式两端同时除以 g 得 ?????????------- （8） 式（8）即为定常不可压无粘流动沿流线的柏努利方程。 ?从力学观点来看，柏努利方程表示无粘流体定常流动中的能量守恒定律。式中 代表单位重量流体的压力能， 单位重量流体所具有的动能， 表示单位重量流体所具有的位能。 式 （8）表明，对于无粘定常流动，单位重量流体的压力能、位能和动能的总和沿流线是一个常数。可以证明，对于多维定常无粘流动，此式沿流线仍然成立。 ???上式中各项都具有长度量纲，因此又称为“头”， 称为压力头又叫静水头， 称为速度头又称为动水头， 称为位置水头。在流体力学中常常采用水头线来直观地表示柏努利方程中各项之间的关系，如图 2 所示。流管各截面中心线联成的曲线 称为位置水头线，位置水头线上再加上压力水头线的高度，则可得到反映 和 之和的曲线 ，这条曲线称为静水头线，在静水头线上加上速度水头的高度，则得到反映单位重量流体总机械能量的曲线 ，它被称为总水头线。 ?? 柏努利方程是能量守恒与转换定律的另一种表现形式，表示流体的各种机械能的守恒与转换关系，突出了流体的速度与压强之间的关系，所以柏努利方程又叫做机械能形式的能量方程。 柏努利方程应用实例： 1、毕托管测速 2、文丘里管测流量 3、轮船为什么会相撞? 4、飞机升空的原理 5、为什么乒乓球掉不下来？ 6、为什么纸会向中间靠拢？ 7、喷雾器工作原理 8、为什么乒乓球中的上旋球的飞行弧线比不转球的飞行弧线低？ 二、实验指导 （一）实验目的 1、观察恒定流的情况下，当管道断面发生改变时水流的位置势能、压强势能、动能的沿程转化规律，加深对能量方程的物理意义及几何意义的理解。 2、观察均匀流、渐变流断面及其水流特征。 3、掌握急变流断面压强分布规律。 4、测定管道的测压管水头及总水头值，并绘制管道的测压管水头线及总水头线。 （二）实验装置 本仪器测压管有两种： 1、毕托管测压管（表2.1中标*的测压管），用以测读毕托管探头对准点的总水