l超难压轴题参考答案与试题解析.docVIP

超难压轴题参考答案与试题解析 　 一．解答题（共7小题） 1．（2013?东城区一模）问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明； 问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 考点： 等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．2287988 分析： （1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转使点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）在∠CBN内部作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，然后证明∠C=∠BAM，再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，再证明∠MBN=∠M′BN，利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，从而得到MN=CN﹣AM． 解答： 解：（1）MN=AM+CN． 理由如下： 如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD， ∴梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠A+∠BCD=180°， 把△ABM绕点B顺时针旋转90°到△CBM′，则△ABM≌△CBM′， ∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC， ∴∠BCM′+∠BCD=180°， ∴点M′、C、N三点共线， ∵∠MBN=∠ABC， ∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC﹣∠MBN=∠ABC， ∴∠MBN=∠M′BN， 在△BMN和△BM′N中， ∵， ∴△BMN≌△BM′N（SAS）， ∴MN=M′N， 又∵M′N=CM′+CN=AM+CN， ∴MN=AM+CN； （2）猜想的结论：MN=CN﹣AM． 理由如下：如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′， ∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠BAD+∠C=360°﹣180°=180°， 又∵∠BAD+∠BAM=180°， ∴∠C=∠BAM， 在△ABM和△CBM′中，， ∴△ABM≌△CBM′（ASA）， ∴AM=CM′，BM=BM′， ∵∠MBN=∠ABC， ∴∠M′BN=∠ABC﹣（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC﹣（∠ABN+∠ABM）=∠ABC﹣∠MBN=∠ABC， ∴∠MBN=∠M′BN， 在△MBN和△M′BN中， ∵， ∴△MBN≌△M′BN（SAS）， ∴MN=M′N， ∵M′N=CN﹣CM′=CN﹣AM， ∴MN=CN﹣AM． 点评： 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高． 　 2．（2007?牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． 当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF； 当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 考点： 全等三角形的判定与性质．2287988 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： 根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF． 同理图2可证明是成立的，图3不成立． 解答： 解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； ∴∠ABE=∠CBF，BE=BF； ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴AE=BE，CF=BF； ∵∠MBN=60°，BE=BF， ∴△BEF为等边三角形； ∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；