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13.1　轴对称 1．轴对称图形 (1)概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴． (2)理解：轴对称图形是对一个图形而言，是一种具有特殊性质的图形，它能被一条直线分割成两部分，沿这条直线折叠时，其中一部分能与这个图形的另一部分重合． (3)对称轴：对称轴是一条直线，有的轴对称图形只有一条对称轴，而有些轴对称图形有几条甚至无数条对称轴． 轴对称图形的识别　判断一个图形是否是轴对称图形可以根据定义，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够重合．另外还可以观察是否有对称轴，能找到对称轴也说明是轴对称图形． 【例1】 下列图形中，是轴对称图形的是(　　)． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 解析：观察图形，①④的图形都能找到一条直线，沿这条直线对折，图形两边能够重合，而②③的图形中找不出这样的直线，因此只有①④是轴对称图形． 答案：D 2．轴对称 (1)概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫做对称轴． (2)含义：轴对称图形是两个图形之间的关系，这两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，即全等． (3)对称点：折叠后重合的对应点叫对称点，两个图形正是由无数个对称点组合而成的，也正是无数个对称点的重合构成了图形的重合． (4)与轴对称图形的异同： a．区别：轴对称图形指的是一个图形本身的特点，而轴对称指的是两个图形之间的关系． b．联系：都关于某条直线对称，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体图形，那么它就是一个轴对称图形，如果把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称． 轴对称的特点　图形的轴对称和平移一样，都是图形位置的变换，共同的特点是变化后图形的大小、形状都没有改变，不同点是变换的方式不同，所以性质也不尽相同，判断的方法关键看变换方式． 【例2】 如图所示，下列每组中两个图形成轴对称的是(　　)． 解析：图A、B、C沿某一条直线折叠，左右两个图形不能重合，所以它们不构成轴对称．如图，D沿右图所画直线折叠，左右两个图形能够重合，所以成轴对称． 答案：D 3．线段的垂直平分线 (1)概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． (2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． (3)判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． (4)线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合．这是线段垂直平分线的集合定义． 线段垂直平分线及性质与判定的理解和应用　①线段的垂直平分线必须同时具备两个条件：过线段的中点和垂直于这条线段． ②线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段其中的一条对称轴． ③线段垂直平分线的性质是证明线段相等的一种方法，运用过程中可以省去证明三角形全等，使得过程更简便． 【例3】 已知线段AB，直线CD是AB的垂线，垂足为O，且OA＝OB，若点M在直线CD上，则MA＝__________；若NA＝NB，则点N在__________． 解析：本题是线段垂直平分线性质和判定的最基本的应用，根据CD⊥AB，又经过线段AB的中点O，所以CD为线段AB的垂直平分线，所以有MA＝MB，因为NA＝NB，由线段垂直平分线的判定定理可知点N在直线CD上，即线段AB的垂直平分线上． 答案：MB　线段AB的垂直平分线CD上 4．线段垂直平分线的画法 (1)折叠法：将线段两端点对齐，沿线段折叠重合，折痕就是线段的垂直平分线． (2)尺规作图法：如图，①分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；②作直线CD；CD即为所求作的直线． 【例4】 如图，在某条公路的同旁有两座城市A、B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两座城市到这个医院的路程一样长？ 分析：两座城市A、B到这个医院的路程一样长，说明这所医院要建在AB的垂直平分线上，又要在公路边，所以应是AB垂直平分线与公路的交点处． 解：如图所示，(1)连接AB，分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，交公路所在直线于P，则点P即为所建医院的位置． 5．轴对称(轴对称图形)的性质 (1)关于某条直线轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等，只要是对应的部分就全等． (2)对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． (3)对应线段所在的直线的交点在对称轴上． 成轴对称的两个图形的性质特征　(1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够相互重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．