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l近代概率论基础第四章作业解答参考.docVIP

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l近代概率论基础第四章作业解答参考

第四章作业题解答参考 4.解:(1)按照示性函数的定义,示性函数为一随机变量且对任意的事件,有 。 因此 ,, ,, 故对任意的,有 (2)由(1)可知 注意到和,对上 式取数学期望可知:。 (3)用记“五个队中至少有一个对全胜”,用记“五个队中至少有一个对全败”, 则要求的概率为: 。 5.解:设,其中,则 , 由试验独立得诸相互独立,由此得 。 8.解:, 。 9、证: 。 10、证: 由期望存在得,故 , 以此代入的计算式即得 。 特别地,如果只取非负值,则当时,有,故。 另证:因为对任意的,有 故 注:第2个等号用到期望和积分交换次序,这是根据Fubini定理。 13.证:的联合密度为, ∴ (利用密度函数的积分值为1,减a再加a) (在前一积分中交换积分次序,在后一积分中交换x与y的记号) . 另证:设 ,则 。 而和的分布函数均为:,又因为相互独立,故的分布函数应为:,于是 。 14.解:设的分布函数为,根据数学期望的定义,注意到的单调非降性, 可知:对任意的,有 最后由可知结论成立。 15.解:令,由题意知:,而 ,故由数学期望的线性性质可知:,于是结论成立。 16.解:用记袋中的白球数,则。 由全概公式知所求的的概率为 22.解:因 ,, 可设拉格朗日函数为: 利用拉格朗日乘数法可解得: 这即为所求。 24.解:不妨设的密度函数为,则。注意到,于是 (或者: ) 而 因此 。又,于是,故与不相关。 但是,对任意的,有 即与不相互独立。 27.解:不妨设的分布律及联合分布律分别为: , ; 。 那么 ; 如果不相关,则有,即 。 由上式可解得:于是与相互独立。 43.证明:充分性的证明见课件,下面证明必要性。 用表示“实验次数为的伯努利实验中的成功的次数”;用表示“实验次数为的伯努利实验中的失败的次数”,则 。 (1) 再令 , , 则有 ,, 且的母函数分别为:和,其中。 我们设的母函数为,则由(4.4.13)式可知,和的母函数分别为: 和。 这样,由(1)可知,对任意的,有:,于是对任意的,有 这样,类似于引理2.4.1的证明可知:,其中为一常数。最后如果我们令,则有,于是实验次数服从参数为的泊松分布。 44.证明:(1)见课件《母函数》那一节。(2)不做要求。 47.证明:“充分性”:设分布函数的特征函数为,且为实的偶函数。根据逆转公式,设为的连续点,则有 我们让沿着的连续点趋向于,则有,对的一切连续点,有 。 如果不是的连续点,则存在的连续点列,使得,这样对每一个, , 最后在上式中令,考虑到分布函数的左连续性即得。 “必要性”:设随机变量的分布函数满足,且的特征函数为。由特征函数的定义 的分布函数为 , 于是的特征函数为 。 而由P226性质6可知: ,于是对任意的,有。 又因为 , 因此为实的偶函数。 50.解:随机变量的密度函数为 , 于是和的特征函数均为 而的密度函数为: , 因此的特征函数为 故 。 但是因为,所以与线性相关,故显然不独立。 注:如何求解上面的两个含有参数的广义积分请查阅数学分析书。 52.解:因为相互独立且服从,因此也相互独立,且的密度函数为:,于是的密度函数为: 即服从自由度为的分布。 而自由度为的分布的特征函数为: 因此的特征函数为:,又因为相互独立,因此的特征函数为: , 即服从自由度为的分布。 设服从自由度为的分布,服从自由度为的分布,且与相互独立。因为 ,

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