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l近代概率论基础第四章作业解答参考
第四章作业题解答参考
4.解:(1)按照示性函数的定义,示性函数为一随机变量且对任意的事件,有
。
因此
,,
,,
故对任意的,有
(2)由(1)可知
注意到和,对上
式取数学期望可知:。
(3)用记“五个队中至少有一个对全胜”,用记“五个队中至少有一个对全败”,
则要求的概率为:
。
5.解:设,其中,则
,
由试验独立得诸相互独立,由此得
。
8.解:,
。
9、证:
。
10、证:
由期望存在得,故
,
以此代入的计算式即得 。
特别地,如果只取非负值,则当时,有,故。
另证:因为对任意的,有
故
注:第2个等号用到期望和积分交换次序,这是根据Fubini定理。
13.证:的联合密度为,
∴
(利用密度函数的积分值为1,减a再加a)
(在前一积分中交换积分次序,在后一积分中交换x与y的记号)
.
另证:设 ,则 。
而和的分布函数均为:,又因为相互独立,故的分布函数应为:,于是
。
14.解:设的分布函数为,根据数学期望的定义,注意到的单调非降性,
可知:对任意的,有
最后由可知结论成立。
15.解:令,由题意知:,而
,故由数学期望的线性性质可知:,于是结论成立。
16.解:用记袋中的白球数,则。
由全概公式知所求的的概率为
22.解:因
,,
可设拉格朗日函数为:
利用拉格朗日乘数法可解得:
这即为所求。
24.解:不妨设的密度函数为,则。注意到,于是
(或者: )
而
因此 。又,于是,故与不相关。
但是,对任意的,有
即与不相互独立。
27.解:不妨设的分布律及联合分布律分别为:
,
;
。
那么
;
如果不相关,则有,即
。
由上式可解得:于是与相互独立。
43.证明:充分性的证明见课件,下面证明必要性。
用表示“实验次数为的伯努利实验中的成功的次数”;用表示“实验次数为的伯努利实验中的失败的次数”,则
。 (1)
再令 , , 则有
,,
且的母函数分别为:和,其中。
我们设的母函数为,则由(4.4.13)式可知,和的母函数分别为:
和。
这样,由(1)可知,对任意的,有:,于是对任意的,有
这样,类似于引理2.4.1的证明可知:,其中为一常数。最后如果我们令,则有,于是实验次数服从参数为的泊松分布。
44.证明:(1)见课件《母函数》那一节。(2)不做要求。
47.证明:“充分性”:设分布函数的特征函数为,且为实的偶函数。根据逆转公式,设为的连续点,则有
我们让沿着的连续点趋向于,则有,对的一切连续点,有
。
如果不是的连续点,则存在的连续点列,使得,这样对每一个,
,
最后在上式中令,考虑到分布函数的左连续性即得。
“必要性”:设随机变量的分布函数满足,且的特征函数为。由特征函数的定义
的分布函数为
,
于是的特征函数为
。
而由P226性质6可知: ,于是对任意的,有。
又因为
,
因此为实的偶函数。
50.解:随机变量的密度函数为
,
于是和的特征函数均为
而的密度函数为:
,
因此的特征函数为
故 。
但是因为,所以与线性相关,故显然不独立。
注:如何求解上面的两个含有参数的广义积分请查阅数学分析书。
52.解:因为相互独立且服从,因此也相互独立,且的密度函数为:,于是的密度函数为:
即服从自由度为的分布。
而自由度为的分布的特征函数为:
因此的特征函数为:,又因为相互独立,因此的特征函数为:
,
即服从自由度为的分布。
设服从自由度为的分布,服从自由度为的分布,且与相互独立。因为
,
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