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实验六：连续时间LTI系统的复频域分析 一、实验目的 1、掌握拉普拉斯变换的物理意义、基本性质及应用。 2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI系统的时域响应。 3、掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布（零、极点图）与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。 4、掌握用MATLAB对系统进行变换域分析的常用函数及编程方法。 二、实验原理 1、连续时间LTI系统的复频域描述 拉普拉斯变换（The Laplace transform）系统函数（System Function） 6.1 系统函数的实质就是系统单位冲激响应（Impulse Response）拉普拉斯变换 6.2 所以，系统函数的一些特点是和系统的时域响应的特点相对应的。在教材中，我们求系统函数的方法，除了按照拉氏变换的定义式的方法之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程（Linear Coefficient Defrential Equation）。 假设描述一个连续时间LTI系统的线性常系数微分方程为： 6.3 对式6.3两边做拉普拉斯变换，则有 即 6.4 式6.4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI系统，它的系统函数是一个关于复变量s的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。根据这一特点，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。 系统函数大多数情况下是复变函数，因此，可以有多种表示形式： 1、直角坐标形式： 2、零极点形式： 3、部分分式和形式： （假设系统的NM，且无重极点） 根据我们所要分析的问题的不同，可以采用不同形式的系统函数表达式。 在MATLAB中，表达系统函数的方法是给出系统函数的分子多项式和分母多项式的系数向量。由于系统函数的分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的，因此，用MATLAB表示系统函数，就是用系统函数的两个系数向量来表示。 应用拉普拉斯变换分析系统的主要内容有： 1、分析系统的稳定性； 2、分析系统的频率响应。 分析方法主要是通过绘制出系统函数的零极点分布图，根据零极点分布情况，判断系统的稳定性。 MATLAB中有相应的复频域分析函数，下面简要介绍如下： [z,p,k] = tf2zp(num,den)：求系统函数的零极点，返回值z为零点行向量，p为极点行向量，k为系统传递函数的零极点形式的增益。num为系统函数分子多项式的系数向量，den为系统函数分母多项式系数向量。 H = freqs(num,den,w)：计算由num,den描述的系统的频率响应特性曲线。返回值H为频率向量规定的范围内的频率响应向量值。如果不带返回值H，则执行此函数后，将直接在屏幕上给出系统的对数频率响应曲线（包括幅频特性取向和相频特性曲线）。 [x,y] = meshgrid(x1,y1)：用来产生绘制平面图的区域，由x1，y1来确定具体的区域范围，由此产生s平面区域。 meshgrid(x,y,fs)：绘制系统函数的零极点曲面图。 H = impulse(num,den)：求系统的单位冲激响应，不带返回值，则直接绘制响应曲线，带返回值则将冲激响应值存于向量h之中。 2、系统函数的零极点分布图 系统函数的零极点图（Zero-pole diagram）收敛域（Regin of convergence）稳定性（stablity）%??? splane %??? This function is used to draw the zero-pole plot in the s-plane function splane(num,den) p = roots(den);??????????????????????? % Determine the poles q = roots(num);??????????????????????? % Determine the zeros p = p; q = q; x = max(abs([p q])); ?? % Determine the range of real-axis?? x = x+1; y = x; ??? ???????????% Determine the range of imaginary-axis??????? plot([-x x],[0 0],:);h