l选修41教材分析聂勇.docVIP

选修4—1几何证明选讲（B）教材分析 北京十三中聂勇 一、内容分析 第一章 相似三角形定理与圆幂定理；第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线（圆锥曲线性质的探讨） 第一章分三个单元。 第一单元是先给出相似三角形定义，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理、平行截割定理，并用锐角三角函数研究了射影定理。 第二单元以“圆的切线概念”为起点，介绍了圆的切线的有关性质、圆周角定理和弦切角定理。教材在处理圆周角定理和弦切角定理的证明时，突出了分类讨论的思想（A版强调用从特殊到一般的思想方法研究）。 第三单元是利用相似三角形的性质引入了相交弦定理、切割线定理和圆幂定理。第二章以“平行射影”为起点，充分利用图形直观，对圆锥曲线的性质进行讨论，用综合几何的方法认识圆锥曲线，这是以往教材中没有涉及的内容。同时，教材内容之间又有紧密的逻辑联系。例如，在讨论“与圆有关的比例线段”（相交弦定理、割线定理、切割线定理）时，用到了相似三角形的判定与性质定理；第二章中利用Dandelin双球研究圆锥曲线的性质时用到了切线长定理。 重点：通过直线与圆的位置关系的讨论，平面与柱面、锥面位置关系的讨论，体会运用综合几何的方法，发现、提出、分析和解决几何问题。 难点：运用综合几何方法讨论圆锥曲线性质。 二、教学要求 1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。 2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。 3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。 5．通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理： 定理　在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，其夹角为α，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则： （1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆； （2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线； （3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。 6．利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。 7．试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π；②如果平面π与平面π的交线为m，在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。） 8．探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。 9．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识。（2）拓展。通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨。（3）学习本专题的感受、体会。 三、教学建议 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1 相似三角形：课时（教参4课时，建议2-3课时） 本单元大部分内容学生在初中都学过，所以教学方法及教材处理要灵活掌握，教学重点放在平行截割定理和射影定理上。相似三角形的判定和性质的证明也不用一一都给学生证，有些可以让学生课下自己看。射影定理可以放手让学生自己探究发现。射影定理教材只安排了一个例题（证明题），教师可以适当补充一个计算题。通过射影定理的教学， 使学生能够熟练地用射影定理计算直角三角形中相应的线段。另外本单元教学也可以按A版的方式处理，即：平行线—相似三角形—射影定理。 1.2圆周角与弦切角：课时（教参3课时，建议2-3课时） 在初中，圆的切线及圆周角学生都学过，教学还是按复习课的模式设计较好。 1.2.1圆的切线的性质定理的证明按A版讲学生比较好理解。 教材的例1和例2是作图题，是否换成利用性质定理和判定定理的证明题和计算题， 同时布置作业时可以选用一些解析几何中直线与圆的相应的高考试题。 1.2.2圆周角定理教材安排了3个例题，其中例题3基础较好的学校是否关注一下，解析几何中有些问题用例3解决还是比较方便的。 如： 附录１ （1）（08江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ） A． B． C． D． （2）在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（原点除外）上给定两点A（0，a）、B（0，b）（a＞b＞0）.试在x轴的正半轴（原点除外）上求点C，使