l重庆市双江中学高二解析几何例题椭圆.docVIP

直线与椭圆例题 1，若直线y=x+t与椭圆 相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值． [解析]：以y= x +t代入，并整理得 ①因为直线与椭圆相交，则△=，所以，即， 设A（），B（），则A（），B（），且是方程①的两根． 由韦达定理可得：， 所以，弦长|AB|2=+ =2 =2[] =2[] 得 |AB|=所以当t=0时，|AB|取最大值为． 2，已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程．，依题意，点P（）、Q（）的坐标满足方程组解之并整理得或所以， ① ， ② 由OP⊥OQ③又由|PQ|=== =　④ 由①②③④可得： 故所求椭圆方程为，或 3，设F1、F2是椭圆的左右焦点。（1）P是椭圆上的动点，求的取值范围。 （2）过Q（1，0）的直线l交椭圆于不同的两点A、B，则求△AOB面积的最大值。 （1）（2） 4，为，过原点且倾斜角为的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点．（1）用表示四边形ABCD的面积S；（2）当时，求S的最大值．（14分） [解析]：（1）设经过原点且倾斜角为的直线方程为y= x tan，代入，求得．由对称性可知四边ABCD为矩形，又由于，所以四边形ABCD的面积S=4| x y|． （2）当时， ，设t=tan，则S， 设，因为在（0，1]上是减函数，所以． 所以，当=时，． 5直角坐标系中，已知（c为常数，c0），的最小值为1，（a为常数，ac,tR），动点P同时满足下列三个条件：① ②.③动点P的轨迹C经过点B（0，－1）（1）求曲线C的方程； （2）是否存在方向向量为的直线l，l与C相交于M、N两点，使的夹角为60°？若存在，求出k的值，并写出l的方程；若不存在，请说明理由。 解：（1）由圆锥曲线统一定义知，动点P的轨迹是椭圆，又 （2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为 将 线段MN的中点为G（则由① 又△BMN为等边三角形，所以点B到直线MN的距离由此可得②…………10分由①、②可得： 故存在这样的直线l，其方程为 6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标． [解析]：（1）由题设e=可得a2=4b2，于是，设椭圆方程为 又设M（x，y）是椭圆上任意一点，且，所以 因为，所以 ①若b，当y=-b时，有最大值为=解得与b相矛盾（即不合题意）．②若b，当y=-时，有最大值为=解得 b=1，a=2． 故所求椭圆方程为．（2） 把y=-代入中，解得，因此椭圆上的点（，），（，）到点P的距离都是 7知圆为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（I）求点G的轨迹C的方程；（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 讲解：（I）由为PN的中点且GQ⊥PN，所以GQ为PN的中垂线.因此|PG|=|GN|，从而|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，所以短半轴长b=2，所以点G的轨迹方程是 （II）因为，所以四边形OASB为平行四边形.若存在直线l使得||=||，则四边形OASB为矩形，所以.若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由所以，这与矛盾，故直线l斜率存在. 设直线l的方程为由 所以 ① 故②把①、②代入∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等. 8， 已知直线与椭圆相交于A、B两点.（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值. 解：（1）∴椭圆的方程为 联立 （II） 整理得 整理得：代入上式得 由此得 故长轴长的最大值为. 9，，椭圆与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率（I）求椭圆方程；（II）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T. 解：（I）过点A、B的直线方程为因为由题意得有惟一解， 即有惟一解， （II）由（I）得 10，点都在椭圆上，、AC分别过两个焦点，当时，有成立.（1）求此椭圆的离心率；（2）设 当点A在椭圆上运动时，求证始终是定值. 解：（1）时，由椭圆定义，得在中， （II）由，得椭圆方程化为，即 焦点设（1）当直线AC