随机过程习题分解.doc

习题一 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？ 设随机变量X的概率密度为 f（x）＝ 求：（1）常数A; (2)分布函数F（x）；（3）随机变量Y＝lnX的分布函数及概率分布。 设随机变量（X, Y）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0x ,y 求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX，EY； （3） 方差DX ，DY；(4) 协方差及相关系数。 4. 设随机变量服从指数分布 求特征函数,并求数学期望和方差。1 和2的泊松分布，试用特征函数求Z = X＋Y 随机变量的概率分布。 6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。 设 （X， Y） 的分布密度为 （1） （2） 问X，Y是否相互独立？ 8. 设（X，Y）的联合分布密度为 X Y —1 2 —1 0 1 0 问： （1）， 取何值时X，Y不相关； （2），取何值时相互独立。 习题二 １．设有两个随机变量X、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为和，定义如下随机过程： ， 试求的均值函数和相关函数。 ２．从t=0开始每隔秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量 　X(t)= 试求：（1）F（；），F（）（2）F（，1；，）。 ３．袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量 试求这个随机过程的一维分布函数族。 ４．设在时间区间内来到某商店的顾客数X(t)是参数λ的泊松过程。为第n个顾客来到的时刻，求的分布函数。 5. 设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。 6.令表示时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。 由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求X（n）的概率分布及增量X（t+）—X（t）的概率分布。 8. 求随机过程的一维概率密度，其中为常数，~。，0，其中（1）是相互独立且服从N (0，)的随机变量，(1是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自相关函数。 10.设为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明X(t)是个马氏过程。 11.设随机过程，，其中，是相互独立的标准正态分布变量，试证是一个正态过程。设，，其中S、V、A为相互独立的正态分布变量，试证是一个正态过程。X表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目： X=i，ir， I={0，1，2，···，} 不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此，{ X，n0}是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。 设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型(称为爱伦菲斯特模型)，并求转移概率矩阵。 6．设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，在不同季节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为 初始分布行矩阵为，试求并指出经过两个季节水库蓄满的概率 又设开关现