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钟表上的追及问题 新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法： 一. 格数法 钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。 解析 （1）设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程，解得。 所以3点16分时，时针与分针重合。 （2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程，解得。 所以3点分时，时针与分针成平角。 （3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程，解得。 所以3点分时，时针与分针成直角。 二. 度数法 对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。 解析 （1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x°，分针旋转的角度是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程，解得。 （2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程，解得。 （3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了，于是得方程，解得。 练一练 1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？ 2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？ 3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？ 4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？ （参考答案：1. 9点49分； 2. 5点43或5点10分； 3. 3点9分或3点23分； 4. 2点43分。） 一元一次不等式解题技巧大放送 解一元一次不等式，教材中介绍的是基本方法，但题目千变万化，遇到每一个题目要善于观察所给不等式的特点，结合其他知识，灵活巧妙地变通解题步骤，才可收到事半功倍的效果。 1、巧去括号 例1 解不等式 分析：因为，所以先去中括号比先去小括号简便。 解：先去中括号，得 两边同时减去，得。 2、巧添括号 例2 解不等式 分析：不等式两边都有（x－17），因此我们不是去括号，而是添括号，将各项整理出（x－17）。 解：原不等式可化为： 即 3、巧用分式基本性质 例3 解不等式。 分析：直接去分母较繁，若先用分式的基本性质，可以使化小数为整数和去分母一次到位。 解：由分式的基本性质，得 即 。 4、巧化分母为1 例4 解不等式 分析：此题按常规应先利用分数的基本性质将不等式中的小数化为整数，然后按步骤求解。但我们发现。巧妙地去掉分母，从而简化了解题过程。 解：原式可化为。 移项合并，得，即。 5、巧凑整 例5 解不等式 。 分析：观察各项未知数的系数和常数项，注意到，，因此把各项拆开移项凑整，比直接去分母简便。 解：原不等式可化为 。 移项合并，得。所以。 6、巧组合 例6 解不等式。 分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。 解：移项通分，得。 化简，得。 去分母，得。解得。 7、巧变形 例7 解不等式 。 解：原不等式可化为 即 ，即。 比较分数大小的若干方法与技巧 比较分数大小问题是初中数学竞赛的一类常见问题，现介绍几种常用解法，以供同学们学习参考。 一、巧加数字 例1. （1992年第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题） 把四个分数从小到大排列是____________ 解：将每个分数都加上1，可得： ， 所以 所以 二、巧减数字 例2. （1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题） 设，则下列不等式关系中成立的是（ ） A. abcd