水利机械计算水动力学------提交报告..docx

一、求解N-S方程的数值方法求解 N-S 方程的数值方法可分为有网格和无网格两类。有网格方法的求解思路是将连续空间划分为离散网格 (或单元)，并在网格点 (或单元) 上离散控制方程，从而寻求控制方程的数值解；无网格方法则将着眼点回归到流体运动的基本单元质点上，通过追踪质点运动性质的变化过程来获得流体解答。网格数值模拟方法发展较早，求解方法较成熟，应用也较广；而无网格方法则刚刚起步，具有很大的发展空间。下面分别就两类中较有代表性的方法予以介绍。1.1 网格数值模拟方法数值计算网格可分为不随流体运动而改变形状的欧拉网格和随流体运动改变形状的拉格朗日网格两类。欧拉网格划分较简单，但在用于具有自由表面流体运动数值计算中需要对自由表面位置进行适时追踪；拉格朗日网格虽然无需进行自由表面追踪，但需要在计算过程中随时调整计算网格，以适应流体自由表面形状，额外增加了计算量，并且在流体变形剧烈处还会出现网格失效现象。有限差分法 (Finite Difference Method, FDM)和边界元法 (Boundary Element Method, BEM) 都是欧拉网格方法中常用的方法。在拉格朗日网格法中，有限元法和边界元法可直接应用，而有限差分法一般需对坐标做适体变换。用欧拉网格法求解含有自由表面的水波动力问题难点在于追踪自由表面。目前比较有代表性的自由表面追踪方法有 PIC (Particle-In-Cell) 法、、MAC (Marker-And-Cell) 法和VOF (Volume－Of－Fluid) 法等。以下分别予以介绍。1.1.1 质点网格法 (Particle-in-Cell，简称 PIC 法) PIC法是 Harlow提出的一种用欧拉矩形网格计算多种介质流体运动的方法。该方法把流体既视为连续介质，又视为带有一定质量的质点，然后研究质点在经过固定欧拉网格上的运动性质。PIC 法具有计算多相流和处理三维自由表面的能力，曾经成功运用于模拟二维流体发生剧烈变形的情况。其缺点是占用较多计算机内存；模式只能给出自由表面单元位置，而不能给出自由表面精确位置；另外在流体变形剧烈处易出现较大插值误差。1.1.2 MAC 法 (Marker-And-Cell) 针对 PIC 法的上述缺点，20 世纪 60 年代中期，Harlow, Welch提出了一种改进方法，称为 MAC 法。最初的 MAC 法在所有单元内部都布满无质量的标记点，通过跟踪这些点即可判断自由表面的位置。MAC 法在求解时以速度分量和压力为因变量，在固定网格上采用有限差分法离散控制方程。在 MAC 法之后，人们又先后提出了 SMAC 法、ABAMC 法、SUMAC 法和 TUMMAC 法［11］系列。新版本模型改为只在自由表面处设标记点，对这些点的连续跟踪可得到自由表面的准确位置，且所耗机时大为减少。Hirt 和 Nichlos在总结当时的自由表面跟踪方法的基础上还提出了“线段法”(Line Segment Method) 的概念，可近似确定自由表面的位置，但这种方法推广到三维的情况较困难。MAC 法于 20世纪 60 年代提出后先是用于涌潮的传播研究，后自 80 年代始大量用于波浪研究。如，Miyata运用一种二维 MAC 格式研究了波浪破碎；Sakai等也提出一种基于早期 MAC 法的数值模型，来模拟水波泼溅以及波浪破碎过程中二阶乃至三阶漩涡的生成。Gao 和 Zhao运用二维 MAC 模型，研究了波浪、建筑物及沙滩的交互作用。在 MAC 法之后，学者们开发了更具通用性和计算效率的模型。如，Chorin提出的投影法 (Projection Method) 就是以其数学上的精确、简明而著称的一个。以 MAC 法为基础，Hirt 等和 Nichols 等开发了易于操作的 SOLA (solution-algorithm) 模型。Kothe等利用不完全 Cholesky共轭梯度法，将表面张力模拟为一种体积力，开发出了 RIPPLE模型。1.1.3 VOF 法（Volume-Of-Fluid）1.1.3.1 算法思想Nichols 等是最早用利用VOF法的研究群体。VOF 法假设在整个流动区域内流体密度为一常数 ，空气密度设为 0，引进流体体积参数 (或者是 VOF 函数) ,从连续方程出发建立关于F的对流方程：(1-1)F 在流体单元内为 1，在空单元中则为 0，而在自由表面单元中， F 值介于 0和 1 之间。给定速度场就可以通过上述对流方程确定F 值，进而确定任一时刻的自由表面单元位置。1.1.3.2 方法介绍 供体－受体法 (Donor-Acceptor Method)：由于 VOF 函数在自由表面附近有很大梯度，用一般的激波捕捉方法虽可求解上述 VOF 对流方程，但由于