l随机变量的数字特征练习题.docVIP

窗体顶端 1.设随机变量X的概率分布为 X 1 2 3 4 p 1/8 1/4 1/2 1/8 求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解. 由离散型随机变量的数学期望公式可知 ?????? E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8; ????? E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×1/8=61/8; ????? E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8. 窗体底端 窗体顶端 2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为 ; ? ; ; . 因此 E(X)=0×7/24+1×21/40+2×7/40+3×1/120=9/10; ???????????????? E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10; ∴ D(X)=E(X2)-(E(X))2=13/10-(9/10)2=49/100. 窗体底端 窗体顶端 3.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差. 解. 随机变量X表示在取得合格品之前,已经取出的废品数. 所以 X的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为 P(X=0)=9/12=3/4 ; ? ???? ; ??? ; ? ??? . 所以由数学期望公式得到 E(X)=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ; ??? E(X2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ; ∴ D(X)=E(X2)-(E(X))2=9/22-0.32=0.319. 窗体底端 窗体顶端 4.射击比赛,每人射四次(每次一发),约定全部不中得0分,只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中四弹得100分.某人每次射击的命中率均为3/5,求他得分的数学期望. 解. 随机变量X表示此人的得分. ?根据题意,可得 ?????? , ???????????????? , ?????????????? , ???????????????? , . ???????? ??????? =54.05. 窗体底端 窗体顶端 5.设随机变量X的概率分布密度函数为 , 求X的数学期望和方差. 解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知 ; 又因为 ????????? ; ∴ D(X)=E(X2)-(E(X))2=π2/12-1/2 . 窗体底端 窗体顶端 6.设随机变量X的概率分布密度函数为 . 求X的数学期望和方差. 解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知 , 又根据密度函数的性质 得到 ?????????????? ????????? ∴ A=15/16 即 E(X)=1. 又∵ ?????????????????????????????? ; ∴ D(X)=E(X2)-(E(X))2=8/7-1=1/7. 窗体底端 窗体顶端 7.设随机变量X的概率分布密度函数为 , 且已知方差D(X)=1, 求常数a和b. 解. 显然常数a＞0. 由密度函数的性质 可知 ?? ① 根据数学期望公式得到 ; ????? ; ∴ 由已知 D(X)=E(X2)-(E(X))2=a3b/6=1 ② 解方程①②得到 . 窗体底端 窗体顶端 8.设随机变量X的概率分布密度函数为 , 求X的方差. 解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知 ∴ D(X