l面面垂直复习测试卷.docVIP

第五讲 面面垂直的判定及性质、二面角 【要点梳理】 1、线面垂直判定定理.一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 2、面面垂直判定定理.一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。 3、线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 4.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 5、理解并掌握二面角的概念及求法（定义法、垂线法、垂面法） 【典例讲解】 题型一 垂直关系的证明 例1如图，棱柱的侧面是菱形， （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值.(中点) 变式1：如图，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD//CE,且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：（1）DE=DA； （2）平面BDM⊥平面ECA （3）平面DEA⊥平面ECA. 变式2 ：在如图所示的几何体中，四边形是正方形， 平面，，、、分别为、、的中点，且. （I）求证：平面平面； （II）求三棱锥与四棱锥的体积之比.(1:4) 题型二 二面角 例2.如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ c ）. A．90° 　B．60° 　 　C．50° 　D．45° 变式 如图：二面角α--β为锐角，P为二面角内一点，P到α的 距离为，到面β的距离为4，到棱的距离为，求二面角α- -β的大小.(75度） 例3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE． 证明：BD⊥平面PAC； 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A及B-PC-D的正切值； 3，-3/4 变式1. 点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B． （1）求的大小；（120度） （2）求二面角余弦值的大小．（三分之根号三） 变式2：如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (I)求证: (II)（4分之根号6） 例4.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）正弦值的大小. 分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（Ⅰ）证略 解: （Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF. 过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知 平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE. 在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°， 所以，AF=2AB=2=AP. 在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG. 则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得， PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中， 所以，在Rt△AHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 例5.如图，在三棱锥中，，， ，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角余弦值的大小； 分析：本题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射 于是得到下面解法。 解：（Ⅰ）证略 （Ⅱ），，． 又，． 又，即，且， 平面． 取中点．连结． ，． 是在平面内的射影， ． ∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影， 于是可求得：，，则， 设二面角的大小为，则 ∴二面角的大小为 题型三：综合应用 例4：如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形， 且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°． （1）证明：C1C⊥BD； （2）假定CD＝2，CC1＝，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值； （3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？ 请给出证明． 变式：如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中. (Ⅰ) 证明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.