l高三数学一轮复习必备精品：曲线方程及圆锥曲线的综合问题.docVIP

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料 第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题 一．【课标要求】 1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想了解圆锥曲线的简单应用 1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测2010年高考： 1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题； 2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问 三．【要点精讲】 1．曲线方程 （1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 步 骤 含 义 说 明 1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。 2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。 写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)} 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。 3、“代”：代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式。 4、“化”：化简 化方程f(x,y)=0为最简形式。 要注意同解变形。 5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” （2）求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2．圆锥曲线综合问题 （1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(xy)的取值范围 （2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： （4）知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题 四．【典例解析】 题型1：求轨迹方程 例1．（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 （2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。 解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆方程分别配方得：，， 当与相切时，有 ① 当与相切时，有 ② 将①②两式的两边分别相加，得， 即 ③ 移项再两边分别平方得： ④ 两边再平方得：， 整理得， 所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆 （法二）由解法一可得方程， 由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， ∴，，∴，， ∴， ∴圆心轨迹方程为。 （2）如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线