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高三 年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生姓名： 授课教师： 授课时间： 专 题 抛物线专题复习 目 标 掌握抛物线的标准方程和几何性质 重 难 点 抛物线的标准方程、抛物线的定义及应用、直线与抛物线的位置关系 常 考 点 抛物线的标准方程、抛物线的定义及应用、直线与抛物线的位置关系 第一部分 基础知识梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p0) y2＝－2px(p0) x2＝2py(p0) x2＝－2py(p0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 第二部分 考点解析 题型一　抛物线的定义及应用 例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标. 变式练习 　1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 (　　) A. B.3 C. D. 题型二　抛物线的标准方程和几何性质 例2　抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. 变式练习　2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 (　　) A.y2＝±4x B.y2＝±8x C.y2＝4x D.y2＝8x 变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于 (　　) A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3 题型三　抛物线焦点弦的性质 例3　设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. 变式练习　4.已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋为定值； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型四　直线与抛物线的位置关系 例4　已知抛物线C：y＝mx2(m0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标. (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值. (3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 变式练习　5.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 例5　设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两 点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点). (1)求抛物线C的方程； (2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 方法与技巧小结 1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分y＝ax2与y2＝2px (p0)，前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝； (3