中考高分的十八个关节关节17图形的分割与剪拼..doc

关节十七 图形的分割与剪拼 纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有： Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为： （1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割； Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。 一、图形的分割 1、借助于“边、角”计算的分割 例1 （1）已知中，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。 （2）已知中，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系。 【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2）， （1） 可从“等边”推演角之间的关系。 解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。 （2）设，，过顶点B的直线 ① 交边AC于D。在等腰三角形中， ①若是顶角，如图③，则， 。 ② 此时只能有，即， ，即与的关系是： 。 ②若是底角，则有两种情况。 ③ 第一种情况：如图④，当时，则， 中，。 Ⅰ、由，得，此时有，即有关系。 ④ Ⅱ、由，得，此时 ， 即。 Ⅲ、由，得，此时， 即，为小于45°的任意锐角。 ⑤ 第二种情况，如图⑤，当时，， 此时只能有， 从而，这与题设是最小角矛盾。 当是底角时，不成立。 【说明】本题是通过特定的分割推导角之间的特殊关系。 例2 如图（1），在和中，，。 （1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ （2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。 （1） 【观察与思考】对于（1），只需算出即可。 对于（2），可沿着“若有两个角对应相等，则两三角形相似”去作适当的辅助线。 解：（1）不相似。中； 在中，， 。，与不相似。 （2）能分割成两个分别相似的三角形，作如图（1`）所示的辅助线进行分割。 具体操作：作，交BC于；作，交于。 由作法和已知条件可知。 ，，， ， 。 ，。 （1`） ∽。 【说明】本题是从构造等角出发构造相似三角形，这一方法被普遍采用。 例3 现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作）。如图甲（虚线表示折痕）。除图甲外，请你再给出三个不同的操作（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。 （甲） （乙） 解：答案例举如下： 【说明】由本题的解法可以看出：要得到面积相等的图形，一可以构造“全等图形”，二可以由面积公式出发。 例4 如图（1）所示的形铁皮，工人师傅想用一条直线将其分成面积相等的两部分。请你帮工人师傅设计三种不同的分割方案（画出示意图）。 【观察与思考】形铁皮可以看成由两个正方形相割而成，又 可以看成由一个矩形和一个正方形拼合而成，应充分利用正方 （1） 形的轴对称性和矩形与正方形的中心对称性，因为“轴对称” 和“中心对称”的两个图形面积都是相等的。 解：如图（1），（2），（3）。 （1） （2） （3） 【说明】在本题，恰当地运用了基本图形的轴对称性质和中心对称性质。 例5 我们能把平分四边形面积的直线称为“好线”，利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形中，取对角线的中点，连结，显然，折线能把四边形的面积平分，再过点作，交于，则直线即为一条“好线”。（如图（1） （1）试证明：确为一条“好线”； （2）如图（2），若为四边形的一条“好线”，为上一点，请作出过的一条“好线”，并说明理由。 （1） （2） 【观察与思考】对于（1），只需证明即可，而这由很多容易得到。 对于（2），其原理与的作法相同。 解：（1）证明：是对角线的中点， 。 。 （2`） 。 是“好线”。 （2）这样作：连结，作，交于。如图（2`），则直线为“好线”。理由如下 ： 。 。 【说明】在本题，主要借助了“等