十字相乘法因式分解详解..doc

2.4十字相乘法例题分析 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【因式分解一般要遵循的步骤】 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）；（2）． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数． 解：（1）； （2）． 例2 把下列各式分解因式： （1）；（2）． 点悟：我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而． 解：（1）； （2）． 点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性． 例3 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）． 点悟：（1）把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式； （2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式； （3）以为整体，转化为关于的二次三项式． 解：（1） ＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)． （2） ＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2] ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)． （3） 点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止． 例4 分解因式：． 点悟：把看作一个变量，利用换元法解之． 解：设，则 原式＝(y－3)(y－24)＋90 ＝(y－18)(y－9) ． 点拨：本题中将视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例5 分解因式． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式 ， 令，则 原式 ． 点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式． 点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式． 方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式． 解法1： ． 解法2： ＝(x－y－6)(x－y＋1)． 例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)． 点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b) ＝(a－b)(c－a)(c－b)． 点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解． 例8 已知有一个因式是，求a值和这个多项式的其他因式． 点悟：因为是四次多项式，有一个因式是，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是（a、b是待定常数），故有．根据此恒等关系式，可求出a，b的值． 解：设另一个多项式为，则 ， ∵ 与是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有 由①、③解得，a＝－1，b＝1， 代入②，等式成立． ∴ a＝－1，另一个因式为． 点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视． 【易错例题分析】 例9 分解因式：． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23， ∴ 原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)． 警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23． ∴ 原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)． 【同步练习】 一、选择题 1．如果，那么p等于 (　) A．ab B．a＋b