因式分解对称式交代式和轮换式..doc

因式分解对称式交代式和轮换式 1、基本概念 (1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。如,,等都是关于的对称式。 一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如，，等都是关于的对称式。 (2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。如把，中的两个字母互换，分别为，则，就叫做关于的交代式。 (3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如，，等都是关于的轮换式。 2、齐次对称式的一般形式 (1)二元齐次对称式 二元一次齐次对称式：； 二元二次齐次对称式：； 二元三次齐次对称式：。 (2)三元齐次对称式 三元一次齐次对称式：； 三元二次齐次对称式：； 三元三次齐次对称式：。 其中L，M，N都是待定的常数，不含有。 3、基本性质 (1)对称式一定轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如是轮换式，但把互换，得到，显然它不是关于的对称式。 (2)两对称式的和、差、积、商一定是对称式；两轮换式的和、差、积、商一定是轮换式。 (3)两交代式的积是对称式；一对称式和一交代式的积是交代式。如(对称式×交代式=交代式)；。(交代式×交代式=对称式)。 (4)有若干个字母的交代式，一定能被其中任意两个字母的差整除，如交代式能被整除。 对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如)作主元，将其余的元看成确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式。例如，对一个关于的轮换式，如已定出是它的一个因式，则都是它的因式。 4、对称式、交代式和轮换式的因式分解 例1、分解因式。 解：由于原式是关于的三次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被，，整除，即能被整除。 但是三次齐次交代式(性质(3))， ∴。 令，则3+(－3)+(－1)=L(－1)·3·(－2)。∴L=1。 因此。 例2、分解因式。 解：由于原式是关于的四次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被整除，即能被整除。 但是三次齐次交代式(性质(3))， ∴原式=。其中是一次齐次对称式(性质(3))。 令，则 ∴L=－1 因此。 例3、分解因式。 解：原式是关于的五次齐次交代式，仿上两例知它能被整除，因此原式还应有一个二次齐次对称式的因式。 ∴＝[] 令，则2L－M=15，令，则5L+2M=15。 解 得L=5，M=－5。 ∴。 例4、分解因式。 解：由于原式是关于的三次齐次对称式，如果它能分解，则必有一个一次齐次对称式做为因式，而另一个因式应是二次齐次对称式 ∴原式=[]。 令，则L=1； 令，则2L+M=1，M=－1。 ∴=。 例5、分解因式。 解：原式是关于的五次齐次对称式，所以它如果能分解，必有一个一次对称式因式。我们判断是否是它的因式： 假设=Q(Q是整式)， 令，由知原式有因式 同理知，都是原式的因式。 但是三次齐次对称式，所以原式应有一个二次齐次对称式的因式：(性质(3))。 ∴ 令，则2L+M=15； 令，则L+M=10。 解 得L=M=5。 ∴。 例6、分解因式： 解：原式是一个关于的对称式，取为主元，原式可看成是一个关于的二次多项式当时，原式。由因式定理，原式含有因式由对称性，原式还含有因式。由于已是关于的三次式，而原式也只是关于的三次式，故原式不会再由其他因式了。但原式与还可能相差一个常数因数，故设 ① 这是一个关于的恒等式，可通过在等式的两边使取一些特殊值来求出。例如，取，代入①式，得，从而。所以 原式= 说明：上述解法中的待定系数也可通过观察确定，由观察易知，①式左边的系数是，而右边关于的系数是，故。 如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同，则称为齐次多项式；否则，称为非齐次多项式。由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同，所以三元二次齐次对称式的一般形式是；三元一次非齐次对称式的一般形式是这里都是常数，三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和。 把对称式或轮换对称式作因式分解时，应注意原式是齐次的还是非齐次的，并由此确定因式的形式。 例7、分解因式： 解：原式是五次齐次轮换式，仿照例8的办法知，，都是它的一次因式。由原式的齐次性，它还有一个二次齐次因式。由轮换性，这个因式的形式必是；(若为，由轮换式就会有另两个因式及，这样原式就至少为9次)，这里为待定系数。于是，便有 原式= 取，代入上式得；取，得 关于的两式联立，解得。所以 原