圆锥曲线定点定值技巧(教师版)..doc

圆锥曲线定点定值技巧 一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法 1．“特殊”探求 例1．（09、辽宁）已知椭圆：．是椭圆上的两个动点，点是椭圆上的一个定点．如果直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值． 解：①“特殊”探讨：取点(即右顶点)直线的方程：．由． ②一般性的证明：设过点的直线方程为： 由． 设方程的两根为、，则·＝＝． 分别用“”“”替换“” ＝，＝， ＝，＝．所以直线的斜率 =．即直线的斜率为定值，其值为． 小结：①取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序；②上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维负担． 2．“与参数无关” 例2． (07、湖南理21）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．【直接法求轨迹】 （1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； (2)在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由条件知，，设，．设． 第一歩：“基本特征式”：设，，直线：． 由…………； 第二歩：“向量特征式”：，，，， 由 ……（*2） 第三歩：代入(整体)：由（*1）与(*2)； 第四歩：消参：（1）÷（2），代入（1）：． 所以点的轨迹方程是． 【(2)在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由】 解：假设在轴上存在定点，使·为常数．第一歩：先特殊探讨．当与轴垂直时，点的坐标为，·＝·＝－1＝常数； 第二歩：再解决一般情况．【以下是基本“特征式”的运算】当不与轴垂直时． ①两设：设直线的方程是，，． ②方程组→一元二次方程→基本“特征式” 由 ； ③运用基本“特征式”求解问题： · · 因为·是与无关的常数，所以，即，此时·＝－1．【与例1的注⑥，用“与参数无关”的方法求定值】 综合：在轴上存在定点，使·＝－1． 小结：①定点、定值的题目中，若存在(大多数是“隐含”条件)“与参数无关”类的语句，求解方法是：第一歩，将表达式→关于“参数”的多项式；第二歩，令含“参数”的项的系数为零，即得到求解结论； ②其理论依据： 若关于方程的解为，即“零”多项式理论； 若关于方程的解为，即“零次”多项式理论； 若关于的函数的值与无关函数是常数函数所有含项的系数＝0，即“零次”多项式理论； ③一般地，这类题目的运算结果，总是含有两个参数：“无关参数”和“待求参数”．而本题很特殊：含“无关参数”是关于“参数”分式，增加了问题的难度． 例5．(2011、武汉市第二次质检、三中供题) 已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为．(1)判断直线与椭圆E交点的个数；(2)直线过P点与直线垂直，点M（－1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标． 解：(1)由△＝0直线与椭圆只有一个交点． (2)直线的方程为 ．设关于直线的对称点的坐标为 直线斜率直线的方程为：即直线恒过定点． 小结：①这道题是证明的圆锥曲线的光学性质，先猜想直线经过另一个焦点G(1，0)，然后再给予证明； ②本题虽然计算量很大，但有了猜想的导向，运算方向清晰，中间过程可以猜想性的表述． 二、先局部，后整体，有序地运算：“由局部→整体的重组” 解析几何中的数学顺序，表现为“由局部→整体的重组”，“整体消参”．而“对称运算”与“对偶运算”是强力支撑． 例5．(08、武汉模拟)过双曲线－＝的右顶点，作两条斜率分别为的直线，交、．其中·＝－，，且＞，求直线的斜率为定值，并求这个定值． 解：【分析：题设条件是·＝－，、，然后重组为·＝－．可以预定：一定能消除参数】设过右顶点1，的直线：，由方程组： ·＝－＝1＝－＝－＝－【用的是“对偶”运算】又·，代入：＝，＝． 所以＝－，【用的是】由对称性：＝－∥轴，得直线的斜率. 小结：①本题是“对偶运算”的经典题目，反复“复制”运算结果，节约了大量的时间； ②在“对偶运算”的帮助下,“代点、代入”与“由局部→整体的重组”有效合成为一体； ③本题可以先取＝4，＝1，＝－4，求出直线的斜率后，再有目标地运算． 三、“代点配凑、代入消参”的运算定式 “代点配凑、代入消参”的运算定式是非常重要的运算．“点差法”，本质上是这种定式的先期运用．反之：“代点配凑、代入消参”的定式，是“点差法”运算的深化．同时，“代点配凑、代入消参”的运算定式，也是“先局部，后整体，有序地运算”的深化．复杂一点的问题，其题型特征是：①曲线上有两个动点； ②于是很容易误导 “直线与曲线相交于两点”运算模式； ③一旦用上式，得到的是无效运算． 先看下面的一道“定值”形式的题，做完后再小结，期望得到解题定式． 例6．（09、宣武）已知是椭圆：＋上两个不同的点，满足