实验13多元函数最值与非线性最小二乘法..doc

实验13 多元函数最值 与非线性最小二乘法 实验背景 在日常生活和科学研究中，人们经常会遇到这样一类问题：在某些条件下，寻求某一数量指标的最大或最小值。例如：在资源有限的情况下，制造尺寸最大的箱子；如何根据手中的资金情况确定收益最大的投资方向等等。这类问题用数学语言描述就是函数的最值问题，也称为最优化问题。 在最优化问题中，拉格朗日乘数法是一种求解条件极值的方法。它将含有n个变量与m个约束条件的优化问题，通过引入拉格朗日乘子，转化为含有n+m个变量的方程组的极值问题，其变量不受约束。它的一般提法如下： 要求多元函数在附加条件在的极值。 为此，我们先做拉格朗日函数 其中均为参数(即拉格朗日乘子)，求其一阶偏导数，使之为零，然后与附加条件中的方程联立起来求解，设得到的方程组为 如果上述方程组存在一组解，则这组解就有可能是原问题的极值点。显然，利用这种方法来求解多元函数的最值有时候不太容易，MATLAB中给出了多个命令，用来求解各种无约束优化问题和约束优化问题。 优化问题的一个重要应用就是数据拟合问题。根据一组数据来拟合一个已知函数，其中，为待定系数。我们希望函数左右两端之差越小越好，为此，我们定义一个误差函数，来求取该函数的最小值，从而得到了一个优化模型。当是关于的非线性函数时，称为非线性最小二乘拟合，这种方法就是非线性最小二乘法。 软件工具 1、无约束优化问题 多元无约束优化问题的标准形式： 利用fminunc和fminsearch都可以求解此类问题，两种命令采用的算法稍有不同:fminunc采用的是拟牛顿法或置信域方法，fminsearch采用的是单纯性有哪些信誉好的足球投注网站法。最一般的调用方式分别为： [x,fv,ef,out]=fminsearch(fun,x0,opt,P1,P2…) [x,fv,ef,out]=fminunc(fun,x0,opt,P1,P2…) 其中，fun是函数名，x0是初始解，，这两个是必须输入的参数。opt是控制参数，不指定时将采用缺省值。P1，P2，…是传给fun函数的参数(如果需要的话)。当输入参数列表中的某个中间输入参数缺省时，需用[]占据其位置。 输出列表中，x是最优解，fv是x点处的目标函数值。ef是程序停止的原因：ef0，表示目标函数收敛到解x处；ef=0，表示已达函数评价或迭代的最大次数；ef0，表示目标函数不收敛。out是包含优化结果信息的结构变量。 另外，fminbnd还可以求解定区间上单变量函数的最小值点，调用方式为 [x,fv,ef,out]=fminbnd(fun,z1,x2,opt,P1,P2…) 其中，x1，x2分别为区间的上下界。 例1：求解min 解：先编写M-文件fun1.m： function f=fun1(x,a,b) f=x(1)^2/a+x(2)^2/b; 取初始值[1,0]，输入程序 x0=[1 0]; [x,fv]=fminsearch(‘fun1’,x0,[],2,3) 输出结果： x= 1.0e-003 *( 0.0312 0.9298) fv = 2.8865e-007 若采用命令fminunc：[x,fv]=fminunc(‘fun1’,x0,[],2,3) 输出结果： x=0 0 fv=0 2、约束优化问题 （1）线性规划 对于如下形式的线性规划： 其求解命令为linprog，其一般的调用方式为 [x,fv,ef,out]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VL,VU,x0,opt) 其中x,A,b,Aeq,beq,VL,VU的含义如模型所示，x0为初始解；opt为程序的各种控制参数。 例2 求解 解 需先将上述问题转化为标准形式再进行求解，改写为 编程如下：c=-[4 9]; A=[-1 1;1 -2;3 2]; b=[2 2 14]; VL=[0,0] [x,fv,ef,out]=linprog(c,A,b,[],[],VL) 得到最优解为，(即原问题的最大值为44)，ef=1(收敛)。 （2）非线性约束 非线性约束的标准形式： 与线性约束相比，形式上多了后面两个式子，这也是关于变量X的非线性约束。MATLAB中提供了fmincon()函数，专门来求解此类约束问题。一般调用方式如下： [x,fv,ef,out]=fmincon (fun,x0,A,b,Aeq,beq,VL,VU,CF,opt,P1,P2,…) 这里CF是给非线性约束函数写的M函数，其他参数的含义与前面相同。 例3 求解下列约束优化问题 解：先编写M文件fun3.m function f=fun3(x) f=1000-x(1)^2-2*x(2)^2-x(3)^2-x(1)*x(2)-x(1)*