导数专题训练答案..doc

导数专题训练 1.【答案】（I）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（II）证明详见解析. .由解得.与在区间上的情况如下： 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是； 在处取得极小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为. 因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点. 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点. 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数的单调性与极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性． 2.【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．【解析】（I），．由得解得． 故的单调递增区间是． （II）令，．则有．当时，， 所以在上单调递减，故当时，，即当时，． （III）由（II）知，当时，不存在满足题意． 当时，对于，有，则，从而不存在满足题意． 当时，令，，则有． 由得，．解得，．当时，，故在内单调递增． 从而当时，，即，综上，的取值范围是． 【考点定位】导数的综合应用． 【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续． 3.【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点；当时，有两个零点． 【解析】 试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数． 试题解析：（1），因为，所以， 当时，，显然成立；当，则有，所以.所以. 综上所述，的取值范围是. （2） 对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.[来源:学科网ZXXK]在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以. (i)当时，，[来源:Zxxk.Com]令，即（）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，，所以与在无交点.当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点. (ii)当时，，当时， ，，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小 因为所以 结合图象不难得当时，与有两个交点. 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点. 【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法． 4.【答案】（），.证明：当时，，，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 ⑥ 当时，等价于 等价于 于是设函数 ，由，有 当时，（1）若，由，得，故在上为增函数，从而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上为减函数，从而，即，故成立.综合⑧，得 . 【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题. 【答案】（I） ；(II) ；(III) . 【解析】（I）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以， 又所以.（II）时，方程在内存在唯一的根. 设当时，.又所以存在，使. 因为所以当时，，当时，， 所以当时，单调递增. 所以时，方程在内存在唯一的根. （III）由（II）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，所以. 当时，若若由可知故当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；可知且. 综上可得函数的最大值为. 【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理. 在内存在唯一的根.其次是根据（II）的结论，确定得