常微分方程解的稳定性(修改)..doc

常微分方程解的稳定性 摘要 本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。　 关键字： 常微分方程 稳定性 李雅普诺夫函数 V函数构造方法 引言 常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法 ,开创了常微分方程定性理论 , 同时在分析中引入几何方法 ,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁 ,带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转而进入了新的稳定性研究。 如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。 本文论述常微分方程解的稳定性的定义及其研究常微分方程相关问题的重要思想，并用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。 1、 常微分方程稳定性 微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力 ,但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏 ,致使研究的道路越来越窄。 此时单纯的定量分析已不能解决问题 ,必须用一种综合化、 整体化的思想加以考虑. 避开微分方程求精确解的定量方法 ,转向运用稳定性方法探求解的性质 ,从而解决常微分方程（组）的解的问题. 考虑微分方程组 （2.1） 其中函数 对 和 连续，对 满足局部利普希茨条件。 设方程（2.1）对初值 存在唯一解 , 而其他解记作 . 本文中向量 的范数取 . 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。 如果对于任意给定的 和 都存在 , 使得只要 就有 对一切 成立，则称（2.1） 的解 是稳定的，否则是不稳定的。 假设 是稳定的，而且存在 ， 使得只要 就有 则称 （2.1）的解 是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解 的稳定性化成零解的稳定性问题。下面记 , 作如下变量代换： 令 (2.2) 则 于是在变换（2.2）下，将方程（2.1）化成 (2.3) 其中 ，这样关于（2.1）的解 的稳定性问题就化为（2.3）的零解 的稳定性问题了。因此，我们可以只考虑（2.1）的零解 的稳定性，即假设 ,并有如下定义： 定义 2.1 若对于任意给定的 和 ， 存在 , 使当 时有 （2.4） 对所有的 成立，则称（2.1）的零解是稳定的，反之是不稳定的。 定义 2.2 若 （2.1）的零解是稳定的， 且 存在 （ 为定义2.1中的）， 当 时有 则称（2.1）的零解是渐近稳定的。 例1. 考察系统 的零解的稳定性。 解： 不妨取初始时刻 , 对于一切 , 方程组满足初值条件 的解为 对任一 ，取 ，则当 时 ，有 故该系统的零解是稳定的。 然而，由于 所以该系统的零解不是渐近稳定的。 2、 常微分方程解的稳定性的重要意义 在实际情况中,干扰性因素总是不可避免的,因此稳定性理论的研究有很重要的理论意义和实用价值,这也是稳定性理论蓬勃发展的原因。 李雅普诺夫首先给出了常微分方程解稳定的严格定义(称为“李雅普诺夫意义下的稳定性”) : 如果对于任何正数ε,无论它多么小,可以选取另一个正数η(ε) ,使得对于所有受干扰的运动,当其在初始时刻t0 时满足 而在所有t t0 时满足不等式 则 的未被扰动运动(即)是稳定的;反之,则称未被扰动运动是不稳定的。 这个定义简单而有力,既反映了深刻的物理本质,又具有严格的数学含义,极大地推广了不动点或平衡解的稳定性定义,成为