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有限元中的半解析法 学院：交通学院 姓名：胡光胜 学号：11S032019 在实际生活中，由于求解的问题复杂、规模较大，常规的有限单元法的费用较高，已经不适用。因此，我们希望找到其他的方法以减少计算工作量，降低费用。这时，半解析法具有其优势，它是一种离散与解析相结合的方法。目前，常用的半解析法有三种：有限条法；组合条---元法和有限元线法。 1. 有限条法（Finite Strip Method） 有限条法是由张佑启先生提出的一种方法，用以解决规则形体问题。本方法具有工作量小、精度高的优点。下面将以薄板为例，介绍位移场的构造方法。 如图1（a）所示，有一矩形薄板，设每条边界的支承条件相同，图中表示了三种支承情况，图1（b）用一些与边界线平行的直线将板分割成若干窄长的条带以此组成有限元分析中的单元。下面介绍这种条带单元位移场的建立思路。 图1 矩形薄板与有限条离散示意图 确定位移模式 对于薄板来说，挠度ω可用分离变量形式表示 (1) 边界条件的确定 本例中也可取Xm(x)满足条带两端的边界条件的梁振形函数，它是如下微分方程的解： （2） 式中 ---是振型参数，由边界条件确定 图1(a)所示的是一端固定一端简支的情况，则有： （3.1） 式中，振型参数由tg=tanh确定，具体取值见表1。 表1 的取值 m： 1 2 3 ≥4 3.9266 7.0685 10.2102 ≈ 其他对边约束条件情况振型函数Xm(x)为： (1) 两端简支 =mπ （3.2） (2) 两端固定 （3.3） 由cosch=1确定，取值如下表2。 表2 的取值 m： 1 2 3 ≥4 4.73004 7.8532 10.955608 ≈ （3）两端自由 （3.4） 在m≥3时，由表2中取得。 （4）一端固定一端自由 （3.5） 由cosch= -1确定，取值如下表3。 表3 的取值 m： 1 2 3 ： 1.875 4.694 ≈ （5）一端简支一端自由 （3.6） 从m=2开始，按表1取值。 在以上各式中，S、T、U、V是振动理论中的克雷洛夫函数，即 （3.7） 由于振型函数的正交性，Xm(x)存在如下正交关系 m≠n （4） 确定位移场 在此过程中，沿短边方向上条间节线的未知位移为参数，在满足收敛性准则的前提下由形函数插值构造。对只有外节线的条元，设左右两侧节线位移参数矩阵为δ1m、δ2m，相应的形函数矩阵为N1、N2，则有 fm(y)=[N1 N2][δT1m δT2m]T （5） 若为內节线的高阶条元，记内节线位移参数与形函数为δ3m、N3则 fm(y)=[N1 N2 N3][δT1m δT2m δT3m]T 其余的可类推。 若仅以节线位移为参数时，则 fm(y)=[ ][ω1m ω2m]T 当以节线位移和转角为参数时，有 fm(y)=[N1 N2 N3 N4][ωT1m δT1m ω2m δ2m]T 上式中Ni为梁的Hermite函数。 将fm(y)、Xm(x)带入(1)式，整理后即可得到位移场的标准形式。本例为薄板，则条带单元的位移场为 ω(x, y) = NδTe (6) 本例中的思路也可用来构造二维、三维等问题的位移场，对于三维问题来说有 由于任意函数均可展为完备的正交函数，因此，只要级数项数足够大，就可保证位移场沿条带长边方向趋于精确。如果有一方向可取解析解，离散仅在另外方向进行，从而使得未知量数目大大减少，二维问题降为一维、三维降为二维。如采用的是正交函数集，对一些问题由于正交性，各级数项积分不耦联，这也会减少工作量。 有限条法的不足 虽然样条法在实际中有广泛的应用，但依然有一定的局限性： （1）条元不可能在长边方向连接有限元或其它单元。 （2）当结构的某一边界并非同一支承情况，如矩形板的四条边线，每条边上均同时存在多种支承情况，显然在边界条件不同的相邻条元间，由于Xm(x)不同，当然不可能保证位移间的协调性，因此，有限条将无法使用。 （3）即使边界支承条件在同一边界完全相同，但如本例中第一部分薄板情况Xm(x)有6种情况，程序比较繁琐。 2. 组合条---元法（Combinatory Strip-Element Me