微分中值定理的证明及应用..doc

微分中值定理的证明及应用 黄敏 （井冈山大学数理学院,江西吉安 343009） 指导老师：颜昌元 [摘要] 本文从不同的方面对此定理加以证明,使得抽象的定理灵活化,从而更易理解,并在此基础上去解决关于“微分中值定理”的应用的问题. [关键词] 辅助函数 中值定理 介值定理 引言 微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心.又因为导数的许多重要应用都是建立在中值定理基础上的，所以微分中值定理是微分学应用的理论基础.微分中值定理通常指:罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.在常见教材中,以罗尔中值定理为基础,通过构造辅助函数来实现后两个定理的证明.证明的关键是做出辅助函数.现行教材中传统形式的辅助函数,表达式冗长.以下通过:1、分析推理法2、“K”值法3、积分法三种方法构造出形式简单的辅助函数,而且构造的过程是水到渠成,自然而有逻辑.并提出一种新颖地“逆序统一证明”法证明这三个定理.最后通过一类证明题和一些巧用来说明“微分中值定理”的应用. 1微分中值定理的证明 定理1 罗尔（Rolle）中值定理 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即，那么在内至少存在一点 ,使得成立. 定理2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数在闭区间上连续，在开区间内内可导，那么在内至少存在一点,使得 成立. 定理3 柯西(Cauchy)中值定理 如果函数与在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点均不为零，那么在内至少存在一点，使得 成立. 证明中建立辅助函数的方法 这类微分中值定理证明的方法,一般是在罗尔定理的基础上引出辅助函数来完成.因此根据问题分析并构造出一个简单易懂的辅助函数,是解决问题的关键. 分析推理法 分析一下定理3,定理3的结论是:至少存在一点,使得 即 ,即 , 因为,所以只要 （*） 由（*）式可以试着构造函数 只要它满足罗尔中值定理的条件，便知存在一点，使得 . 即（*）式成立,定理3便可得证.不难验证,确实满足罗尔中值定理的条件,因此在证明定理3时,辅助函数设为即可,同理,由定理2与定理3的关系易知,在证明定理2时,可令辅助函数 这种方法主要是针对现行教材中传统形式的辅助函数的表达式冗长,而通过分析推理,遵循严密的逻辑关系,构造出形式简单的辅助函数,从而解决定理的证明. “K”值法 拉格朗日中值定理中,令 ,则有, 即有,不难发现,在上均满足罗尔中值定理的条件, 其中,因此可以作为所需要的辅助函数. 而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,因此,只需将上述方法推而广之,即可证得柯西中值定理. 令,由已知,对中任意，,可推得（根据罗尔中值定理可证得）.此时有 即 不难发现,可以取作为辅助函数,它在上均满足罗尔中值定理的条件,故有,又,所以 即 此方法构造辅助函数的过程相当巧妙，而且所得辅助函数简单明朗，但逻辑关系并非十分严密，带有一定的偶然性，不易理解,没有上种“分析推理法”逻辑性强. 积分法 定理2 拉格朗日中值定理的证明 把需证之式变为对应改写成 （把换成）, 证明上述方程在内存在根，将上式左边对积分，有 故取 .则在上连续，在内可导，且 由罗尔中值定理知，至少存在一点，使,即 . 同理，可以知道定理3柯西中值定理的证明.把需证之式变成 对应改写成 （把换成） 证明上述方程在内存在根，将上式左边对积分，有 故取 则在上连续，在内可导，且 由罗尔定理知，至少存在一点，使得 即 . 通过以上证明可知,“积分法”的关键步骤也是构造辅助函数，其基础方法是：（1）将需证之式整理，使等式右边为0，左边的改写成；（2）对等式左边关于积分；（3）对应积分值写出，这种方法最大的优点在于其规律性，不需要过多的考虑步骤,而只需根据规律就可步步得出证明.易掌握和运用. 逆序统一证明法 这种方法颠覆了传统的证明顺序.按Cauchy中值定理、Lagrange中值定理、Rolle中值定理的顺序给出证明。 10 先证Cauchy中值定理 证 令,则满足： （1）在上连续; (2)在内可导; (3) 若（常数）,取内任一点为都有，即 若存在某个属于，,因为在上连续,所以必在某点在处取得最大值或最小值，则亦称为极值点，又在可导,所以.即 20 Lagrange中值定理的证明 证 只要令定理中的，立即有本定理的结论. 30 Rolle中值定理证明 证 把该定理中的条件用于Lagrange中值定理的结论即证. 从上述整个证明过程不难看出,实际上只对定理1给出了详细的证明,且难易程度与繁简程度不大,而后两个定理是立即得到的推论,与上述构造辅助函数相比,而有更简捷、更新颖