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微分方程辅导 §3.1 一阶微分方程 A．知识概述 1）基本概念 一阶微分方程 含有未知函数的一阶导数的方程 或 解 满足微分方程的可微函数。 通解 满足方程的，含有一个任意常数的可微函数。 定解条件 未知函数满足的关系 . 定解 使用定解条件从通解中确定任意常数得出的 2）一阶方程（可分离，线性，齐次，贝努利*，全微分方程*）分类求解 可分离方程 ------------基本题型 求通解 分离变量后不定积分： 注意一边积分写上任意常数。 求定解 初始条件，作变限积分： ② 线性方程 -------------重点题型 求通解 先化作以上标准形式，再套用以下公式 非齐次通解公式（其中 ） （常用） （变通使用） 齐次通解公式 求定解 在通解中代入初始条件求C。 注意 当方程同时还属于其它类型时，一般优先选择依线性方程求解。 ③ 齐次方程 求解要点 代换 后分离变量为： ④ Bernoulli方程 （） 求解要点 代换 后化作线性方程（注意对比系数）： B．常见题型与考点 【题型1】【基本问题～考察典型解法，细节处理】 【题型2】【综合问题～增加对解函数的继续讨论】 【题型3】【变形问题～变量对换，变量代换运用】 C. 范例分析与解答 【题型1】【基本方程求解～典型解法，细节处理】 细节-----合理识别类型，利用初始条件排除分支；绝对值符号的处理； （1） 设 , 求. 解1（看作分离变量方程，常规解法:先通解--再特解） 分离变量: 两边积分: ， 求得通解： () 确定常数： 由定出. 所求定解为 . 解2（看作分离变量方程，快速解法:直接求定解） 分离变量: ） 两边作变限积分: 所求定解为: 解3（推荐解法，看作线性齐次方程，用通解公式） 线性齐次: 因为 故可以取 求得通解： 再由 定出 . （2） 解1 （看作齐次方程） 变量代换：令，方程化为： ， 分离变量： ， 两边积分有 ， 得 ， 即 代入初始条件：，得 ， 所求定解为 解2（看作Bernoulli方程） 化作 ， 记，得： 标准化： 由线性方程通解公式， ， 所求通解为 代入条件得 ，从而 （3） 解 （使用线性方程通解公式，涉及到分段函数的定积分计算） 由题知 通解为 定解为 【题型2】【讨论解函数（极限、积分计算，大小控制）----看作两道小题】 （4） 解 初始条件变形，要讨论解函数的极限 . 通解： 由,,推得，故有. （5） 解（研究解函数的界，使用变限积分形式的通解公式） 定解为 由于 ， 故有 【2002】求方程的解函数，使得解函数与直线 以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。 答案： 【2001】若满足，。求的和函数。 答案： 【题型3】【方程形式变化～变量对换，代换的运用】 （6） （交换变量的地位） 解 写成: 得到函数的线性方程. , 通解为 练习 ① （7） （代换） 答案： （8） （代换） 答案： 练习② 练习③ 练习④ （9） （代换 答案 一阶线性方程的单项选择题 思路：求同，排异； 手段：几何作图；直接计算；选取特例。 设有一阶齐次微分方程，处处连续。则不是 其通解的函数为 A. B. C. D. ② 设微分方程有一个特解，则对于初始条件 ，方程的特解是： A. B. C. D. §3.2 二阶线性微分方程 A．知识概述 线性二阶微分方程： [齐次] ， [非齐次] , 2）线性二阶微分方程通解构造： 齐次通解 = 两个不成比例的齐次特解之组合： 非齐次通解 = 齐次通解＋非齐特解： 3）解的叠加原理： ⑴非齐次项:设函数是方程 的解，则 是方程 的解。 ⑵ 齐次解的线性组合还是齐次解 ⑶ 非齐次解 + 齐次解 = 非齐次解 ⑷