十九 5-3、4相似矩,对称矩阵的对角化十九 5-3、4相似矩阵,对称矩阵的对角化.ppt

第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 第四节 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化　　的方法 三、小结 作业 P138—16,17,18 于是得正交阵 解　第一步　求A的特征值．由 1. 等价关系 推论 若 阶方阵A与对角阵 说明 　　　如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 　　　如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. 矩阵对角化的步骤： A能否对角化？若能对角 例2 解 解之得基础解系 所以 可对角化. 注意 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 　 １．相似矩阵 　 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： ２．相似变换与相似变换矩阵 　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算． 　　相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成　　　，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵． 　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．(AT=A) 定理1　对称矩阵的特征值为实数. 定理1的意义 证明 于是 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 如何判断?