单调性与奇偶性学生单调与奇偶性学生.doc

函数的奇偶性和周期性 ★知识梳理 1．奇偶函数图象的对称性 若是偶函数，则的图象关于直线对称； 若是偶函数，则 的图象关于点中心对称； ★热点考点题型探析 7 [例1] 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·； （3）；（4） [思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。 [解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点. ∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由得 故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0. 从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x） 故f（x）为奇函数. （4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数. 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型2：证明抽象函数的奇偶性 [2]定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的， 都有. 求证f (x)为奇函数； [思路点拨]欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充 分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理 “赋值” [解析]令x = y = 0，则 f (0) + f (0) = ∴ f (0) = 0 令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1) ∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0 ∴ f (－x) =－f (x) ∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数 1．设函数为奇函数，则___________。 2．已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ） A．0；B．；C．1；D． 3．定义两种运算：，，则 是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个） 4．已知函数（a、b、c∈Z）是奇函数,又，，求a、b、c的值. [3]已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。 [思路点拨]欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从 出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。 [解析] 是定义在上奇函数 对任意有 由条件得= 是定义在上减函数 ，解得 实数的取值范围是 [例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. [思路点拨]欲由f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。 而函数y=()是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决 [解析]设0x1x2,则－x2－x10，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f(－x2)f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1), ∴f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减. 由f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)得：2a2+a+13a2－2a+1.解之，得0a3. 又a2－3a+1=(a－)2－. ∴函数y=()的单调减区间是 结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为［，3). [新题导练] 是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A.；B. C.； D. 6．在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ） A.在区间上是增函数，区间上是增函数 B.在区间上是增函数，区间上是减函数 C.在区间上是减函数，区间上是增函数 D.在区间上是减函数，区间上是减函数 7．定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式 3 函数奇偶性、周期性的综合应用 [例5]已知定义在上的偶函数满足对 于恒成立，且，则 ________ [思路点拨]欲求，应该寻找的一个起点值，发现的周期性 得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而， 又由已知等式得 又由是上的偶函数得 又在已知等式中令得，即 所以 基础巩固训练