微积分与数学思想方法..docx

数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法：5.1函数思想函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。例如：一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A版选修2–2课本37页习题）解：设其中一段铁丝的长度为，则另一段为，面积为 根据题意得： 整理得： 求导数，并令导数等于零，解得： 分析：这类题型在新版教材中为常见的一种题型，根据题意得到函数表达式，借助“微积分”这个工具，结合函数的性质来解决问题。当 时导函数的函数值为零，这时函数取得最小值（函数的性质）。例如：有一家宾馆有50个房间共旅客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果旅客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？分析：这是一个生活中实际的问题，解决方法，根据题意列出函数表达式，我们要找到关键问题，利润是由房间数乘以房间定价让后减去房间数乘以房间维护费，所以关键就是房间数，我们设房间定价为元，利润为，则对进行求导，并令导数为零，得到，即可解得利润的最大值 把数学问题用函数表示出来，借助“微积分工具”去解决数学问题，这是我们常用的方法，即函数思想结合“微积分”去解决问题。特别的我们在学习了“微积分”之后，这种题型是我们常见题型及常考题型之一。5.2极限思想 我们所谓的极限思想是我们微积分的基本思想之一，所谓极限思想是指：利用极限概念去分析及解决问题的一种数学思想方法。高中数学新版教材微积分虽然不学习极限理论，但是在问题解决中却处处应用了极限思想。由于中学生对极限思想已经不再陌生，早在学习求圆的面积公式时就有了极限思想（刘徽的割圆术）、后来学习球的体积公式时对极限思想有了更进一步的体会。因此在导数、定积分定义的引入和导数的几何意义学习过程中，学生可以再次体会到极限思想在问题解决中的重要价值[21]。（1）我们在求一个物体的瞬时速度时，是规定在很小的时间间隔，即：时，物体的平均速度 就是物体在这个时刻时的瞬时速度，即：（2）我们在解决曲边梯形面积时：我们首先把曲边梯形的面积S进行无限分割，从而就把有限变成了无限，我们把小矩形的面积用来表示，用来表示；再把小的矩形无限累加得到曲边梯形的近似值，又从无限回到有限。最终我们求得曲边梯形的面积为：导数：函数在处的导数，就是此函数在此点的瞬时变化率， 定积分：我们表示函数在区间上的定积分，是指将区间等分成个小区间，当时，它们的和式就无限接近的一个确定值，即 （3）对于学习导数的几何意义，我们是从函数在处的切线开始的学习的，我们通过观察函数在点处的切线的变化趋势，总结得到的导数的几何意义。（4）高中新版教材“微积分”部分在解决求变速直线运动的路程，求平面图形面积、变力做功中也都应用到了极限思想。[13]5.3数形结合思想 数形结合思想是我们中学解决数学问题中常用的一种思想方法。所谓数形结合是指：把比较抽象的数学符号和语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过直观的图像来帮助我们简化问题和解决问题，就是在研究数学问题时，由数思形、见行思数、数形结合考虑问题的一种思想方法[14]。数形结合思想往往能够帮助我们分析问题，使复杂的问题通过图像形象直观的表达出来。在新版教材中“微积分”领域的习题中比较常见，例如：求函数 上的最大值与最小值。解：分析：在我们学习“微积分”之前这类问题不容易解决，但现在学习了“微积分”这个有利的“工具”就比较简单。先求函数的导函数易得令导函数等于零，得到极值点，根据函数性质画出函数的图像如图：从图形中易得函数 的最大值及最小值。数形结合思想更加倾向于帮助我们分析问题，了解问题的本质，这个本质是利用图像来表示出来，使得我们能够直观的观察问题的本质，从而能够