微积分中不等式的证明方法讨论..doc

微积分中不等式的证明方法讨论 不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种： 1.利用函数的单调性证明不等式 　　若在上总有，则在单调增加；若在上总有，则在单调减少。 注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对进行分割，分别在小区间上讨论。 例１：证明：当时， . 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】 令， 则 ，且. 又 ，（）， 故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即 . 【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数，然后求导验证的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。 例2：设, 证明. 【分析】即证 证明： 设，则 ， , 所以当xe时， 故单调减少，从而当时， ， 即当时，单调增加. 因此当时，， 即 ， 故 . 【评注】 本题也可设辅助函数为，请自己证明。 例3：证明不等式： 【分析】当时，两端都等于0， 等号成立；应分两种情况讨论。 即证：（1） （2） （3） 下面的证明就简单了。 例4：设，证明： 【分析】该题的关键是设辅助函数，由多种设法 （1） （2） ， 当然，第二种设法更简单 例5：设 ，证明 【分析】辅助函数也有多种设法 （1）， （2） ， （3） ， 当然，第三种设法更简单。 2.利用拉格朗日中值定理证明不等式 对于不等式中含有拉格朗日中值定理先处理以下。 例6：证明：当0ba时， 【分析】即证： 证明：令，在上使用拉格朗日中值定理，知存在 所以，即 ，变形得证。 例7：设, 证明 【分析】即前面的例2。 证明 对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 设，则， 当te时， 所以单调减少，从而，即 ， 故 . 例8：设， 证明：当时， 【分析】即证：即证：，用中值定理并注意到单调减小得证。 3.利用函数的最值证明不等式 令上连续，则存在最大值和最小值，那么： 例9：设, 证明 证明：令， 由 得，球的惟一的驻点， ，和1是在[0，1]上的最小值和最大值。 所以： 4.利用泰勒公式证明不等式 如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。 例10：在［０，１］上具有二阶导数，且满足，是（０,１）内的任意一点．证明： 证明： ………………………(1) ………………(2) (2)-(1)得： ，因为 5.积分表示的不等式的证明 例11: 设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a,有 解：，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且，由于时， ，因此，即F(x)在[0，1]上单调递减. 注意到， 而 =， 故F(1)=0.因此时，，由此可得对任何，有 例12:设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足 ，x ? [a , b)，. 证明：. 解：令F(x) = f (x) ? g(x)，， 由题设G(x) ? 0，x ? [a , b]， G(a) = G(b) = 0，. 从而 ， 由于 G(x) ? 0，x ? [a , b]，故有 ， 即 . 因此 .