微积分入门的两个热身问题..doc

微积分入门的两个热身问题 问题1：曲线的切线问题 如何作出一条给定曲线在某点处的切线，是引发微积分诞生的问题之一。我们先从一个简单例子说起。 例1 已知圆上的一点，与轴的夹角为。求点处的圆的切线。 本例可以用解析几何方法求解。如图所示，设是过圆上一点的切线，那么半径就是过的圆的法线。 根据曲线在一点处的切线与法线的斜率之积等于—1的原理，只须计算出的斜率值，然后用点斜式直线方程不难写出的方程。 这个计算过程留给大家，因为这是中学生可以求解的问题。 当曲线是一般形式时，中学的初等数学关于圆的切线的定义就成问题了，因为对圆的切线的定义是：与圆只有一个交点的直线。见下图，若用这样的定义就遇到了困惑：点处的切线与曲线不止一个交点。 所以，一般曲线的切线的定义必须另行考虑，研究对象改变了，定义也应与时俱进地变。高等数学一般用“运动”或“变化”的思想加以考虑，因为高等数学希望致力于寻求普遍地解决问题的方法，而不是一个一个例子地讨论。 考虑左图一个典型问题。设是定义在上的函数，它在坐标系中为一条曲线。 问题：过此曲线上的已知点作该曲线的切线。 思想：作出过点的任意一条割线，使之运动到“极限”位置 置，这个极限位置的割线就是所求的切线。 实现的方法：设所求切线为（见图）。考虑曲线上的任一点，连接作曲线的割线，显然，这样的割线是任意的。容易知，此割线的斜率等于 。 （+） 现在使点沿曲线变动，那么割线的位置也随之变动。我们取这样的变动方式：使点逐步接近点，则割线将接近。用极限的思想，无限接近的过程的极限位置，就是所求切线。联系到（+）式，也就是说，割线的斜率的极限值就是所求切线的斜率，用数学式子说，便是 。 （*） 于是，利用直线的点斜式方程，不难写出所求的切线方程！ 这么看来，求切线的关键是计算（*）式的极限。不过，在上述叙述的过程中，还隐含着许多疑问。比如，割线存在不存在极限位置？也就是极限的存在性。以后我们将会看到，对于相当普遍的函数（包括中学里学过的所有初等函数），当无限接近时，割线确实存在一个极限位置，所以（*）所示的极限在大多数情况下可以计算出来。当然，存在是一回事，如何计算又是另一回事。 有的同学可能思路很活跃，他会说，我们在中学里学过如何求极限了，因此求切线的问题不在话下了。需要注意极限式（*）的特点：它的分母是，分子是，它们在的过程中都是趋向于0（但不是0!），大家想过没有：这样的分子分母相除的结果会是什么呢？ 这些都是在微积分的发展进程中逐步解决了的问题，但对我们初学者来说，还是问题。有问题不怕，学习的过程就是逐步前进的过程。有一点很重要，即应带着疑问来学。疑问从何而来，要在解决问题中提炼出来。也就是说，需要我们学会题的出疑问。只有题的出疑问的学生，才是有希望的。 好！我们就用上面的思想与方法来解决实际问题。 例2 求抛物线在点处的切线方程。 解：先写出过点的任意割线的斜率：。 再求其极限： 最后一步极限计算，我们直接用了中学里介绍的计算方法（代入法），至于为什么可以这样算，将是我们这门课程要研究的。 于是，所求的切线方程（用点斜式方程）为， 即 。 但是，千万不要就这个例子解决得很顺利，就误以为万事大结。比如回到一开始的例1求圆的切线。为了计算（+）的极限，需要找出对应的变量。我们设计2种变量。 方法1：设定点对应角为，且设圆上动点对应的。 则 。 这个极限我们还不会求！不过对于中学里学过导数的同学，可能会 计算，即分子分母同时求导数，可以得到 至于为什么可以这样计算，则是本课程的重要任务之一。我们不仅要知道怎么做，更需要理解为什么这么做。这才是大学的学习之道！ 方法2：用动点的坐标： 这个极限我们还不会计算。 因此，用高等数学的方法，求圆的切线问题反而比求抛物线的切线更困难！这里的困难在于计算极限值。如何计算极限，是微积分的一个重要内容。 还是回到式子（+）。大家一定要熟悉这样形式的极限，因为它与微积分课程的一个极其重要的概念——导数，发生