微积分讲义及例题2..doc

第一讲 第一章 函数、极限连续（予备知识） 重点：函数性质与函数的图形 函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题. 一、函数 （一）函数的概念 1．函数的定义 【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量和,若对非空集合中的每一点,都按照某一对应规则,有惟一确定的实数与之相对应,则称是的函数,记作 称为自变量,称为因变量,称为函数的定义域,的取值范围即集合称为函数的值域. 平面上点的集合称为函数的图形. 定义域(或记)与对应法则是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同. 2．函数的表示方法 函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用. 3．函数定义域的求法 由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件. （二）函数的几何特性 1．单调性 （1）【定义1.2】 设函数在实数集上有定义,对于内任意两点,当 ＜时,若总有≤成立,则称内单调递增（或单增）；若总有 ＜成立,则称在内严格单增,严格单增也是单增.当在内单调递增时,又称内的单调递增函数. 类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数. （2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间. 2．有界性 【定义1.3】 设函数,若存在实数＞0,使得对任意,都有≤,则称在内有界,或称为内的有界函数. 【定义1.4】 设函数,若对任意的实数＞0,总可以找到一,使得＞,则称在内无界,或称为内的无界函数. 有界函数的图形完全落在两条平行于轴的直线之间. 函数是否有界与定义域有关,如（0,+∞）上无界,但在[1,e]上是有界的. 有界函数的界是不惟一的,即若对任意,都有≤,则也一定有≤. 3．奇偶性 【定义1.5】 设函数在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意,都有,则称为D内的奇（偶）函数. 奇函数的图形关于原点对称,当为连续的函数时,=0,即的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设为奇函数,为偶函数,则 为奇函数；为偶函数； 非奇偶函数； 为奇函数；均为偶函数. 常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了. 利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 【例】 判断下列函数的奇偶性: (1); (2) 【解】 (1)因为 所以是奇函数. (2)因为 4．周期性 【定义1.6】 设函数,如果存在非零常数T,使得对任意,恒有成立,则称为周期函数.满足上式的最小正数T,称为的基本周期,简称周期. 我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.是以1为周期的周期函数.与的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示. 图1-1 （三）初等函数 1．基本初等函数 （1）常数函数 ,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于轴的直线.在轴上的截距为. （2）幂函数 ,其定义域随着的不同而变化.但不论取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当＞0时,函数图形过原点（图1-2） （a） (b) 图1-2 （3）指数函数 ,其定义域为（-∞,+∞）. 当0＜＜1时,函数严格单调递减.当＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以为底的指数函数,即（图1-3） （4）对数函数 ,其定义域为（1,+∞）,它与互为反函数.微积分中常用到以e为底的对数,记作,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4） (图1-3) (图1-4) 另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内. 对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设″＜0. 则 (1)′在内严格单调减少；（2）在上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知