快速小波变换在DSP中的实现方法..docx

快速小波变换在DSP中的实现方法2008-03-25 09:21姜新华　　范征宇（上海交通大学信息与控制工程系　上海，200240）摘要　小波分析是分析非稳定信号的一种非常有效的方法。Mallat快速算法使得小波分析的广泛应用成为现实。在实时信号分析中，离散小波变换在DSP上的有效应用受到了特别的关注。本文简单介绍了FWT，详细阐述了在DSP上FWT的周期性扩展的实现。其中，特别介绍了DSP的循环寻址。最后，给出了针对TI公司的TMS320C3X系列DSP的相应的汇编代码。关键词：小波变换；快速算法；数字信号处理器引言　　小波变换是从信号理论领域发展形成的。小波变换涵盖许多领域，它在这些领域得到了（或将得到）广泛的应用。作为信号处理的经典工具，傅里叶变换的缺点是它没有时域局部化性质。它仅仅给出信号的频率成分表达，但一般不能从变换后的信号中得出频率与时域局部有关的信息，其原因就在于分解函数的周期性（三角函数）。这些函数可在频域定位，但在时域则不行。因此，傅立叶变换是表示稳定信号的理想工具。小波变换的分解函数，即所谓的“小波”在时域和频域都具有局部性。因此，小波变换是表示包含不连续或不稳定成分的信号的理想工具。　　在实际的信号处理应用中，常采用的是小波变换的离散形式，也即所谓的离散小波变换（DWT）。1988年，Mallat在Burt和Adelson的图像分解和重构的塔形算法启示下，基于多分辨分析框架，给出了信号与图像（或函数）分解为不同频率通道的算法及其重构算法——Mallat算法［1］，大大提高了小波变换的计算速度，其重要性相当于傅里叶变换中的FFT算法。从而使小波变换具有了明显的工程应用价值。　　通用的微处理器在运算速度上难以适应信号实时处理的要求。DSP处理器就是为了适应这种需求而开发的。DSP处理器中集成有高速的乘法器硬件，能快速地进行大量数据的乘法和加法运算。小波变换和DSP处理器的结合使得小波变换具有很强的可实现性。1　快速小波变换（FWT）　　基于多分辨分析的理论，Mallat给出了快速小波变换（FWT）的算法——Mallat算法。对于一个多分辨分析｛Vj｝j∈Z，φ和ψ分别为相应的尺度函数和小波函数，函数f属于由尺度函数φ生成的MRA的基本子空间V0。它可以表述成［5］　　对上述表达式的几点说明如下：　　（1）hk是多分辨分析的尺度系数，gk是多分辨分析的小波系数，两者的关系是gn＝（－1）nh2k＋1－n，k∈Z；　　（2）dmn和cmn分别是函数f在第m层尺度上的小波分解系数和尺度逼近系数；　　（3）实际应用中，函数f不是连续函数，而是所要分析的信号的离散采样序列fk。当采样率相当高时，信号的采样就非常近似于展开系数c0。　　这样，计算离散小波变换可以描述成递归计算式（1）和式（2）两个和式。因此，分析算法有如下形式：输入　　　c0（输入序列）　　　　　M（分解层次）计算　　　for m＝1，．．．．，M　2　有限序列的FWT　　以上算法推导时，假定序列是无限的。然而，实际应用时序列总是有限的。为了满足多分辨分析的要求，可以用合适的数来扩展有限序列，常采用的有零插值法和周期性扩展法。　　零插值法是将序列支撑以外的元素都设为零。如果序列不是以零开头或结尾，这就在序列的边界处人为地产生了不连续性，从而使得在dm相应位置出现较大的值。另外，零插值法中，输入序列与系数序列的支撑的长度不是相互独立的，这增加了应用时的计算量。　　周期性扩展法是把序列当作一个周期信号进行扩展，序列支撑的长度就是周期的长度。周期性扩展克服了零插值法的不足，而且这种周期性能沿着尺度传递。另外，可以利用DSP处理器的循环寻址功能实现序列的周期性扩展，从而更加提高了FWT的计算速度。　　因此，本文采用周期性扩展法在DSP处理器上实现FWT。　　对式（1，2）变换下标可得 输入序列定义为x（n），尺度展开系数为z（k），而系数为f（l）（包括尺度系数h（l）和小波系数g（l））。　　当算法应用于DSPs上时，这些序列的下标必须从0开始。系数序列的下标的范围为：0，…，l－up－per，l－upper表示下标的最大值 如果输入序列x（n）的长度N＝2u，u∈Z＋，则z（k）的长度沿尺度不断地被二等分；因此，下标k的范围是：0，…N/2-1。 ??? 这样，就可以通过Mallat算法计算某个尺度值：将系数序列放至输入序列的开头，各个系数与相应的输入值相乘再累加。最后所得就是尺度展开序列上的第一个值。然后，系数序列向前跳过输入序列的两个位置（基于2的向下抽样），再计算各个系数与相应的输入值的乘积的和，这样就得到第二个值。依次类推，直到系数序列跳出输入序列的范围。此时为了使每个系数都与输入序列中的值相乘，把输入序列的开始部分的一些值加到序列的结尾。　　整个