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悠悠球的理论力学分析.
悠悠球的简单力学分析及讨论
假设悠悠球的质量为m,对质心的转动惯量为。细绳长为,不计形变及质量。轴承摩擦系数为μ,内外半径分别为,细绳全部缠绕在轴承上时半径为R,忽略轴承的质量及转动惯量。假设悠悠球进行一个简单运动:以一定初速度被甩出,方向竖直向下,到达底端经过一段时间的睡眠后收回。下面分五个过程进行定量计算。(图均为过质心的截面图)
过程分析
设出手的过程人做功W,该功量全部转化为悠悠球的动能,使其绕瞬心O点定轴转动,角速度。由动能定理:
得:
后面的计算并不用到这个角速度,这里只是定量分析一下能量转换的关系。
此后悠悠球在重力的作用下加速下落,运动方式类似纯滚动。随着细绳逐渐被抽出,缠绕的细越来越接近球的中心。由动能定理:
得:
其质心速度
此时细绳会突然急剧张紧,在极短时间内产生一个竖直方向的冲量,使得悠悠球质心速度变为零,平动动能耗散为其他形式的能量,这就是物理中所学过的“范性过程”。规定向下为正,其冲量为:
同时,由于轴承不完全光滑,该过程轴承对悠悠球的冲量矩为(类比小球与粗糙平面的斜碰撞,平面对其的切向冲量为法向冲量的):
设范性过程结束时悠悠球角速度为动量矩定理:
得:
此后由于悠悠球离合器中的钢珠受很大的离心力的作用,压缩弹簧使离合器打开,悠悠球绕质心作定轴转动,并且角速度在摩擦力矩的作用下逐渐变小。由动量矩定理有微分关系式:
即
积分,初始条件
可见随时间线性减小。当其减小到离合器的临界角速度时,钢珠的离心力和弹簧作用的压力相互平衡。只要继续减小,离合器就会卡住轴承从而使悠悠球沿细绳向上运动,达到“收球”的目的。设经过时间T达到离合器临界角速度,代入上式有
T即为悠悠球的空转时间,称为睡眠时间。
这是悠悠球整个运动的最后一个过程,可以认为是第一个过程的逆过程。设悠悠球收回前一瞬间角速度为不计能量损耗,由动能定理:
得
至此,悠悠球的运动全过程分析结束。下面以推导出的(*)式简要讨论影响睡眠时间的因素。
结果讨论
的影响
从表达式易知T随减小而增大。故为了尽可能延长睡眠时间,应使尽可能小。但为了最后能将其收回,应有。综上得 时,T最大。
W(初始做功)的影响
将式子略微变形,写作
显然括号里为正,故T随W的增大而增大。但W不可过大,否则容易造成绳断等安全隐患。
(轴承内径)及的影响
显然,T随的缩小而增大。这直观上很好理解:越小,范性过程以及空转过程中轴承对悠悠球的摩擦冲量矩就越小,从而角速度衰越慢,睡眠时间越长。
其余变量由于和T的函数关系较为复杂,求导繁杂,限于篇幅不再一一分析。
实例计算
下面以一种悠悠球的实际参数带入公式进行数值运算,对比睡眠时间的理论计算值与实际值。
产品名称: 火力战士s
产品编号: 671513
规格: 567*457*458
备注: 轴承系统:尼龙轴承
规格:x6x4
回收系统:十字离合器
外环材质:有色透明PC
重量:g
球体:材质:PC
上线有效宽度:13.5mm
球绳:专用纯棉球绳
最大空转时间:1分35秒
最大直径:62mm
。查表知滑动轴承的为0.01-0.02,取;绳长取1m;作为简化,将悠悠球视作匀质圆盘,得,D为悠悠球直径;W较难确定,暂时估算为使悠悠球获得5m/s 的质心速度及相应角速度所做的功,即,根据经验R约为3r;则取使T最大的值,即,此时悠悠球收回手中时动能正好为0。将以上参数带入(*)式,得:
这与参数表中的95s较为接近,说明利用该公式可以粗略计算悠悠球的最大睡眠时间。此外在计算中发现两点:1. 在3过程中,即范性过程中由轴承摩擦力矩造成的悠悠球角速度损失很小,几乎可以忽略不计,这是因为力臂短和摩擦系数2.相当大,即为了悠悠球能回到手中,离合器在其角速度还比较大时就卡住了轴承使其结束睡眠开始上升。为了进一步提高睡眠时间,就得拆掉离合器系统,从而悠悠球可以继续睡眠直到角速度为零,这就是我们常听到的“死睡眠”。将带入式中可算出,可见死睡眠能成倍增大睡眠时间。
R
O
O
r
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