悬崖跳水问题的数学模型..doc

悬崖跳水问题的数学模型 摘要 本文探讨的是悬崖跳水水池安全深度的问题，为了保证运动员的人身安全，水池建立必须有足够的深度，另一方面，尽量节约水池建设的成本可避免无意义的浪费。所以水池深度设定必须在满足不造成运动员人身伤害的同时达到最低成本消耗的要求。又因为运动员的跳水主要是在竖直方向上的运动，为了便于求解，在对运动员进行受力分析时不考虑水平方向的受力情况，同时我们将人体看做圆柱体。对运动员跳水过程进行分析，将跳水过程分为四个阶段（空中，刚接触水面，入水，完全进入水中）。 在问题一中，本文只考虑其从跳台至刚与水面接触的过程，运用MATLAB软件求解可得刚与水面接触时男运动员到水面的速度为，女运动员到水面的速度为。再运用动能定理： 代入数据得20501J的能量；同样可求女运动员从跳台到水平面时所做功为11728J。数据显示运动员从高为20多米的高崖跳水至刚接触水时瞬间的碰撞能量超过头部所能承受的能量。若是头先入水很可能会造成脑震荡，所以必须脚先入水。 在问题二中，本文在第一阶段分有空气阻力和无空气阻力的情况，运用经典物理学中的牛顿第二定律、常微分方程以及功能守恒定理建立模型，得出在无阻力时男子跳水水池至少深度为=17.44148m，女子跳水水池至少深度为=15.1348m；在有阻力时男子跳水水池深度为=17.04148m，女子跳水水池深度为=15.0348m。 在问题三中，本文已知人体密度不变，若要分析体重不同人的水池深度问题，只需考虑三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同。建立方程求解得出：体重越大的人跳水时需要更深的水。 关键字：悬崖跳水 牛顿第二定律 常微分方程 功能守恒定理 MATLAB软件 一、问题重述 近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。悬崖跳水，即运动员从高空悬崖跳下来，身体在重力的作用下快速自由下落，这是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，所以比赛中安全问题显得非常重要。比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。由于它具有极大的危险性，因此我们考虑如何减小跳水当中的危害，提高安全性？带着这个疑惑我们建立数学模型来解决以下问题： 1、计算、分析并回答，悬崖跳水选手是脚先入水，还是头先入水。 2、跳台下面的水池跳水要多深才能安全，请大家分两种情况给以计算： （1）在悬崖到水面之间，不考虑空气阻力； （2）在悬崖到水面之间，考虑空气阻力； 提示要求：在计算的过程中要求将人体看成圆柱形状。 3、分别就上述两种情分析析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。 二、问题分析 要探讨水深的安全的问题，需要分析在跳水者进入水之后继续下落的深度，考虑到绝对的安全，那么在运动员下落至水底之前，速度减为足够小，而不至于因撞击池底而受伤。在本问题中，要确保运动员的绝对安全，此处所需深度恰好是运动员在水下首次静止时的深度。 针对问题一： 我们只需考虑运动员在空中下落的过程，求出其刚接触水面时的功，进而分析判断得出结果。 针对问题二： 空气中的下落按照质点下落分析，则还需分析整个入水以及入水后触底过程。且运动员跳水模型存在触水碰撞，故将整个入水过程分成四个阶段：空中下落、接触水面碰撞、人体与水面碰撞完毕后整个身体进入水中、整个身体刚好完全进入水中到触底。 第一个过程，从跳板到刚要和水面接触时中间的过程； 第二个过程，人水短暂碰撞过程按照流固撞击处理，运用动力学原理能量和动量分析； 第三个过程，人的身体处于进入水的过程，建立运动状态方程； 第四个过程，由于身体完全进入水中，同样建立第二个状态方程。 而后，在此基础上我们对问题二进行了有阻力和无阻力的情况分析。 针对问题三： 在问题二的基础上，我们同样把人体看作圆柱体进行分析求解。建立模型分析得出水池深度大小改变与高度有关，与体积无关，故而我们将人体重不同定义为底面积不变，密度不变，高度改变。最终求得体重越大的人其跳水时需要更深的水。 三、问题假设 1、假设跳水运动员跳水状态形似圆柱体下落，质量分布均匀，其中跳水运动员的高度即圆柱体高度，人的脚部为圆柱体底部，人体的肩宽即圆柱体直径（如下图示）； 2、假设忽略跳水运动员的蹬板过程； 3、假设风速水速为零，不影响运动员下落； 4、假设忽略水的湍流作用； 5、假设男女跳水运动员身高、质量及肩宽符合20-25岁跳水运动员国际标准； 6、假设运动员的双脚与水池底部接触时速度刚好为零达到安全临界； 7、假设人的平均密度和水的密度相等，即； 8、假设水池底部是平面； 9、比赛高度以我国福建连城的冠豸山的高度为准，即跳台高度男子是28米，女子为20米； 10、假设空气阻力的大小为