悬臂梁自振频率分析..doc

悬臂梁自振频率分析 专业：防灾减灾及防护工程 学号：S201003087 姓名：岳松林 图中：，，，，， ，， 整个悬臂梁的厚度均为。 图1 一、解析解 第一步，梁的基本情况 梁的运动偏微分方程 （1） 这里不考虑梁的轴向剪力和粘滞阻尼力，求它的自由振动频率，因而其运动偏微分方程为： （2） 由梁的几何物理参数参数（梁高h，材料密度已知）我们可以得到： （3） （4） 梁的边界条件： 固定端： （5） 自由端有刚性质量： （6） 其中 （7） 第二步，梁的求解 问题转化为偏微分方程的求解 （8） 令（9） （10） 将公式（9）（10）代入（8） （11） 该方程目前不能解。应采用能量法，即Rayleigh法 一、理论准备 基本概念是最大动能等于最大势能。求解多自由度体系比较方便。 但是要先假设振型——形状函数。比如均质等截面简支梁的真实振型是正弦曲线的形状函数。则计算结果近似度较高。 等强度梁，不同位置截面应力相同。 所以等强度梁的振型应为抛物线。 书中有另外一种表述： vd为重力荷载引起的挠曲线形状。 此公式常用于任何类型体系频率的近似分析。 但应考虑梁端的矩形平台及加速度传感器质量的影响。 二、具体计算 采用 找出重力静载下挠度曲线。 梁分为两段。左端为等强度梁，特点是各个截面应力相等；右端为等截面梁，特点是截面不变，抗弯刚度不变。 梁重力作用下挠度曲线公式： 由可以求出不同区间的。 然后代入 整个积分求解过程用maple软件计算，具体过程见附件1。解得其基频为： （圆频率）。 二、数值模拟 梁的尺寸和约束不变，传感器简化为与梁等密度的质量块。用Turegrid建立有限元模型，如图2所示。单元均采用六面体单元。模型共包含50548个节点，38892个单元。 图2 采用LS-DYNA软件隐式求解方法进行计算求解，最后得到其基频为： 。 三、实验测量 实验过程中在梁左端压一重物，实现相对固端约束，实验时在梁右边自由端施加一个初始位移，采用DHDAS_5927动态信号采集分析系统采集数据。得到的结构任意一点的振动曲线如图3所示。 图3 用Origin 7对数据进行FFT变换，得到其幅值-频率曲线，如图4所示。 图4 在Origin 7中可直接读得其频率（基频）为： 四、结论 通过对给定的等强度悬臂梁的理论、数值模拟和实验测量分析，得出此悬臂梁在三中方法下的基频分别为：，，（下标表示对应的第种方法）。可见，理论解最大，实验测得的结果最小，理论解和模拟结果的相对误差为:,模拟结果和实验结果的相对误差为：。应该说，三种方法的结果都是对真实解的逼近。理论解中采用Ritz法，形状函数只取到四阶多项式，可能是结果偏大的一个原因；数值模拟方法中为建立有限元模型的便利，将圆柱传感器处理为与梁等密度的质量块，形状和尺寸都有变化，也会产生误差；而实验测量中，不可能做到理想状态，如通过端点压重物的方式还不是很能实现所要求的固端约束。这些都有待于解析，模拟方法的更加细致和实验条件的改善。