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数学期望运算性质 数学期望与方差的运算性质 导读：就爱阅读网友为您分享以下“数学期望与方差的运算性质”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! 数学期望与方差的运算性质 教程 一：复习公式 离散随机变量P?(X,Y)?(ai,bj)??pij?Eh(X,Y)??h(ai,bj)pij i,j 连续随机变量??,??~f?x,y??Eg(?,?)???g(x,y)f?x,y?dxdy R2 二：期望运算性质 E(aX?bY?c)?aEX?bEY?c 应用例题、袋中装有m个不同色小球，有返回取球n次，出现X种不同颜色，求EX 解答：用Xi??１第ｉ颜色球在n次取球中出现?，则 ０第ｉ颜色球在n次取球中没出现? X?X1???Xm ?1??1?由于P?Xi?0???1??,P?Xi?1??1??1??, ?m??m? EXi?1??1?1/m?， n??1??EX?E?X1???Xm???EXi?m?1??1??? i?1???m???mnnn 三、协方差：若EX??,EY??，cov(X,Y)?E???X????Y?????称为随机变量X、Y的协方差.covariance cov(X,Y)?E???X????Y????? ?E?XY??X??Y?????E?XY??E???X??E???Y??E???? ?E?XY???E?X???E?Y???? ?E?XY???????????E?XY?????E?XY??EX?EY 例题：害虫一生产卵个数X服从参数为?的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p，假定害虫后代个数为Y，求cov(X,Y) e???i jjCip(1?p)i?j 解答：P(X?i,Y?j)?P(X?i)P(Y?jX?i)?i!i?j e???ii!e???i ji?j?p(1?p)?pj(1?p)i?j i!j!(i?j)!j!(i?j)! e???i EXY???ijP(X?i,Y?j)???ijpj(1?p)i?j j!(i?j)!i?0j?ii?0j?0??i e???i EX???iP(X?i,Y?j)???ipj(1?p)i?j i?0j?ii?0j?0j!(i?j)!??i e???i EY???jP(X?i,例题：P180 3.4.8 ??,??~f(x,y)?1/3(x?y)I[0,1]?[0,2](x,y)，求Var(2X?3Y?8) syms x y positive moment1=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2); moment2=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2); Var=moment2-moment1 Var = 245/81 协方差计算公式 cov(X,Y)?E?X?EX?E?Y?EY?EX?a,EY?b?E?X?a?E?Y?b? ?E?XY?aY?bX?ab??E?XY??aE?Y??bE?X??ab ?E?XY??ab?ba?ab ?E?XY??E?X?E?Y? 注： Ｙ＝Ｘ时得到什么公式？ 例题：若随机变量X,Y独立，求它们的协方差 解答：EX??,EY??，因为X,Y独立，所以X??、Y??也相互独立 cov(X,Y)?E???X????Y??????E?X????E?Y????0 注：相互独立随机变量协方差为０的逆命题不成立，如，假定随机变量X~U(?1,1)，则显然cov(X,X2)?0，但是X、X2不独立 四、协方差和方差性质 １：协方差是方差推广，方差是特殊协方差 cov(X,X)?Var(X)，cov(X,c)?0，cov(X,Y)?cov(Y,X) cov(?i?1ciXi,?j?1djYj)??i?1?j?1cidjcov(Xi,Yj) mnmn 特殊地 Var(?i?1Xi)?cov(?i?1Xi,?i?1Xi)??i?1?j?1cov(Xi,Xj) mmmmm ?mmm???i?1?j?1cov(Xi,Xj)??i?1??cov(Xi,Xj)?cov(Xi,Xi)? ?j?i? ????i?1??cov(Xi,Xj)?Var(Xi)? ?j?i?m ??m??i?1??cov(Xi,Xj)???i?1Var(Xi) ?j?i?m ?2?cov(Xi,Xj)??i?1Var(Xi) j?im 特别地 Var(X1?X2)?Var(X1)?Var(X2)?2cov(X1,X2) Var(X1?X2)?cov(X1?X2,X1?X2)?cov(X1,X1?X2)?cov(?X2,X1?X2) ?cov(X1,X1)?cov(X1,?X2)?cov(?X2,X1)?cov(?X2,?X2) ?cov(X1,X