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等边三角形动点问题 等边三角形中的动点问题
等边三角形中的动点问题 作者:施玮 来源:《新课程学习·下》2014年第05期 题目的来源:课外 设计背景:八年级上册第二章特殊三角形复习。 设计思想及方法:动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综…
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等边三角形中的动点问题
作者:施玮
来源:《新课程学习·下》2014年第05期
题目的来源:课外
设计背景:八年级上册第二章特殊三角形复习。
设计思想及方法:动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,本设计是以等边三角形为主线,点的运动引起边、角的变化,三角形形状的判断,抓住图形中“变”和“不变”,以“不变的”来解决“变”,以达到“以静制动”,变“动态问题”为“静态问题”。对学生的空间想象能力、综合分析能力都有着积极作用。同时,也体现了分类讨论、数形结合、方程的思想方法。
一、单动点问题
例1.如图△ABC是边长4 cm的等边三角形,动点P以1cm/s的速度从点A出发,沿线段AB向点B运动,设点P的运动时间为(s),那么t=____时,△PBC是直角三角形? ■
1.首先请同学们阅读题目,然后教师提出引导性的问题。
问题1:△PBC有几个元素?是否有会随P点的运动而改变呢?
学生活动:学生观察图形,点P从A点到B点的运动,探索图形中变化的量与不变量。特别是BPC的变化过程。
问2:请同学们想象一下,△PBC的形状会发生怎样的改变?
学生学习活动:让学生独立思考问题,自由发言。学生阐述自己的想法与结论。
通过这个问题的讨论探究,引导学生认识△BPC的变化过程。然后利用几何画板把点P动起来,显示动态图形,使问题更直观、形象。同时,让学生验证自己的结论正确与否。
2.那么通过这些活动找到P点在运动过程中的这个特殊位置(使△BPC是直角三角形),并画出特殊位置的图形,使动态问题转变成静态问题。
3.最后利用特殊三角形,等边三角形和直角三角形的特性,找到关系建立方程模型求解。
整个设计意图:引导学生学习这种分析问题、解决问题的数学方法,让学生猜想、探索结论,发现动点问题中一些相互联系的变量与不变的量,使学生解决动点问题有个感性的认识。然后将单动点问题迁移到双动点问题。
二、双动点问题
例2.已知,如图△ABC是边长4 cm的等边三角形,动点P从点A出发,沿AB向点B运动,动点Q从点B出发,沿BC向点C运动,如果动点P、Q都以1 cm/s的速度同时出发,设运动时间为t(s),那么t为何值时,△PBQ是直角三角形?
学生阅读题目,根据引例中的分析,探索解决问题的方法进行学习,教师可给出下列启发问题:
(1)本题中P、Q运动,哪些量发生了变化?
(2)若△PBQ是直角三角形,直角会是哪些角?(让学生自由发挥,畅所欲言)
接着利用几何画板让P点、Q点动起来,用实验的方法进一步验证学生探讨的结论,对学生的结论予以肯定,通过这些活动,将这个双动点问题转化为静态问题,找到运动中的两种特殊位置,并画出图形,分类讨论这两种情况,同时利用特殊三角形的特性找到关系,建立方程模型求解。
设计意图:对所学的知识加深理解与应用,培养学生的发散思维,进一步发展学生有条理的思考和表达能力以及分类讨论、数形结合以及方程的思想方法。
三、拓展变式练习
例3.如图△ABC是边长4 cm的等边三角形,动点P从点A出发,沿AB向点B运动,动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动,连接PQ交AC于D,如果动点P、Q都以1 cm/s的速度同时出发,设运动时间为t(s),那么当t为何值时,△DCQ是等腰三角形?
设计意图:通过练习,能够及时将学生的掌握情况反馈给老师,进一步提高学生的应用能力,实现对知识的应用和拓展。
归纳小结:解决动态几何题的策略是:把握运动规律,寻求运动中的特殊位置;在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”的一般规律。动点运动过程中,抓住图形在变化过程中不变量与变量及不变量与变量之间的关系,然后建立方程模型求解。
那么对于本设计,我安排在八年级
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